問題
半径2の円の外側に接して半径1の円がある．をの周上の定点とし，最初はの中心，の中心，がこの順に1直線上にあるとする．がに接しながらすべることなくのまわりを1まわりしてもとの位置に戻るとき，が描く曲線の長さを求めよ．
出典：名古屋大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
半径2の円の中心を原点に置き，小円の中心が大円の周りを角 だけ動くと考える。中心の軌跡は半径3の円であり，すべらない条件から小円は中心の周りに角 だけ回転する。問題の初期位置では点 が小円の中心の外側にあるので，媒介変数表示は外向きの点に合わせる。微分して速さを に簡約し， で積分する。
解答
半径2の円 の中心を原点とし，最初に小さい円 の中心が ，点 が にあるように座標をとる。
小さい円の中心が原点のまわりを角 だけ回ったとき，その中心は にある。小さい円の中心が動いた弧の長さは である。半径1の円がすべらずに転がるので，小さい円はその中心のまわりに角 だけ回転する。
外側を転がる点で，最初に中心から外向きにある点を追うと，点 の座標は と表される。実際， のとき となり，問題の初期位置と一致する。
これを微分すると である。したがって速さの2乗は
である。よって速さは である。
小さい円が大きい円のまわりを1周してもとの位置に戻るとき， は を動く。したがって曲線の長さ は
である。