名古屋大学 1984年度文系数学第3問(b) 解答・解説

問題

$A$ ， $B$ 2つの箱に白石と黒石が入っている．箱 $A$ ， $B$ から石を1個取り出すとき，白石が出る確率をそれぞれ $α$ ， $β$ とする．次のような試行を行う．ただし，取り出した石はそのつどもとの箱に戻すものとする．
1回目は箱 $A$ から取る．2回目は，1回目に白石が出た場合は箱 $B$ から，黒石の場合は箱 $A$ から取る．3回目は，2回目に箱 $A$ から白石を取った場合のみ箱 $B$ から，それ以外の場合は箱 $A$ から取る．

(1) 白石を取り出した回数が黒石を取り出した回数より大きい確率 $p$ を求めよ．

(2) $α = \frac{1}{4}$ のとき，どんな確率 $β$ に対しても， $p \neq = \frac{1}{2}$ であることを証明せよ．

出典：名古屋大学 1984年度前期日程第2次学力試験文系第3問(b)

方針

3回の試行を木で整理し、白が黒より多い、つまり白が2回以上出る場合だけを足す。箱の選択規則は第2回と第3回で異なり、第3回に箱 $B$ を選ぶのは「第2回に箱 $A$ から白を取った場合だけ」である点に注意する。第(2)問は $α = 1/4$ を代入し、 $p = 1/2$ となるには $β = 7/6$ が必要であることを示す。

解答

(1)

白石の回数が黒石の回数より大きいのは、3回中2回または3回、白石が出る場合である。場合分けして計算する。

1回目に白が出る確率は $α$ である。この場合、2回目は箱 $B$ から取る。2回目も白なら、すでに白が2回出ているので3回目の結果にかかわらず条件を満たす。この確率は $α β$ である。1回目が白、2回目が黒なら、3回目は箱 $A$ から取り、ここで白が出る必要がある。この確率は $α (1 - β) α$ である。

次に1回目に黒が出る場合を考える。この確率は $1 - α$ であり、2回目は箱 $A$ から取る。2回目に白が出た場合だけ3回目は箱 $B$ から取り、そこで白が出れば白が2回になる。この確率は $(1 - α) α β$ である。2回目も黒なら、3回目に白が出ても白は1回だけなので条件を満たさない。

以上より $p = α β + α^{2} (1 - β) + (1 - α) α β$ である。整理して $p = α^{2} + 2 α β - 2 α^{2} β$ を得る。

(2)

$α = \frac{1}{4}$ を代入すると

p = \frac{1}{16} + \frac{β}{2} - \frac{β}{8} = \frac{1}{16} + \frac{3 β}{8}

である。もし $p = 1/2$ なら $\frac{1}{16} + \frac{3 β}{8} = \frac{1}{2}$ であり、 $1 + 6 β = 8$ すなわち $β = \frac{7}{6}$ となる。しかし $β$ は確率なので $0 ≦ β ≦ 1$ でなければならない。これは $β = 7/6$ と矛盾する。したがって、どんな確率 $β$ に対しても $p \neq = \frac{1}{2}$ である。

名古屋大学 1984年度文系数学 第3問(b)

問題

方針

解答

(1)

(2)

名古屋大学 1984年度
文系数学第3問(b)