名古屋大学 1984年度文系数学第1問解答・解説

問題

行列 $A = (a c b d)$ で次の2つの条件を満たすものをすべて求めよ．

(i) $a + d = 1$

(ii) 任意のベクトル $p = (x y)$ に対して， $p$ と $A^{2} p$ は直交する．ここで， $A^{2} = AA$ とする．

出典：名古屋大学 1984年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

条件 $a + d = 1$ から $d = 1 - a$ として $A^{2}$ を直接計算する。任意の $p = (x, y)$ に対して $p \cdot A^{2} p = 0$ になるためには、 $x, y$ の2次式が恒等的に0でなければならない。そこで $x^{2}, x y, y^{2}$ の係数を比較し、最後に $c = - b$ を代入して $a, b, c, d$ を決める。

解答

条件 (i) より $d = 1 - a$ である。したがって

A = (a c b 1 - a)

とおける。このとき

A^{2} = (a^{2} + b c c a + (1 - a) c ab + b (1 - a) c b + (1 - a)^{2}) = (a^{2} + b c c b b c + (1 - a)^{2})

である。

p = (x y)

とすると

A^{2} p = ((a^{2} + b c) x + b y c x + {b c + (1 - a)^{2}} y)

である。よって内積は

p \cdot A^{2} p = (a^{2} + b c) x^{2} + (b + c) x y + {b c + (1 - a)^{2}} y^{2}

である。これが任意の $x, y$ で $0$ になるためには、2次式の各係数がすべて0でなければならない。したがって $a^{2} + b c = 0, b + c = 0, b c + (1 - a)^{2} = 0$ である。

第2式より $c = - b$ である。これを第1式、第3式に代入すると $a^{2} = b^{2}, (1 - a)^{2} = b^{2}$ となる。よって $a^{2} = (1 - a)^{2}$ であり、 $a = \frac{1}{2}$ である。さらに $b^{2} = \frac{1}{4}, c = - b$ である。したがって求める行列は

\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{2} \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{2}

である。

名古屋大学 1984年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

名古屋大学 1984年度
文系数学第1問