問題
次の2つの条件を満たす3次の整式を求めよ．
(i) で割った余りはである．
(ii) で極値2をとる．
出典：名古屋大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問(a)
方針
3次式を とおく。余りが であることは、 での値と導関数の値、すなわち , を意味する。極値2は , を意味するので、4本の一次方程式で係数を決める。
解答
求める3次式を とおく。
条件 (i) より、 を で割った余りは である。したがって であり、さらに導関数についても余りの導関数と一致して である。また条件 (ii) より、 で極値 をとるので である。 だから、4条件は である。これを解く。第2式から第4式を引くと である。また第1式から第3式を引くと である。第4式 を用いると を得る。したがって であり、 である。最後に から である。
得られた整式では なので、 は実際に極小点であり、その値は である。よって求める整式は である。