問題
(1) 放物線 が，折れ線と接するための条件を求めよ．
(2) (1)の放物線と折れ線が接するとき，これらの囲む部分の面積をを用いて表せ．
出典：名古屋大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
放物線も折れ線 も 軸対称なので、 側の直線 との接触だけを考えればよい。接点を と置き、値の一致と傾きの一致から と を求める。面積は左右対称性で2倍し、接点までの差を積分する。
解答
(1)
放物線 も折れ線 も 軸に関して対称である。したがって 側で と接する条件を調べればよい。
接点の 座標を とする。値が一致するので であり、傾きも一致するので である。第2式から である。これを第1式に代入すると であり、 となる。 ならこの は確かに を満たす。よって接するための条件は である。
(2)
接点は である。 では折れ線の方が上にあり、囲まれる部分の面積は対称性より である。(1) の を用いると、 integrand は である。したがって面積は であり、
である。