九州大学 2026年度理系数学第5問解答・解説

問題

関数

f (x) = \int_{x}^{x + 1} lo g (4 t^{2} + 1) d t

に関して，以下の問いに答えよ。

(1) $f (x)$ が極値をとるときの $x$ の値を求めよ。また，そのときの極値を求めよ。

(2) 極限 $x \to \infty lim x {f (x) - f (x - 1)}$ を求めよ。

出典：九州大学 2026年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

積分区間が $[x, x + 1]$ と動くので，まず $g (t) = lo g (4 t^{2} + 1)$ とおき， $f^{'} (x) = g (x + 1) - g (x)$ を使う。極値の位置は $4 (x + 1)^{2} + 1 = 4 x^{2} + 1$ から決まり，符号変化で極小と判定する。極小値は偶関数性で $[- 1/2, 1/2]$ の積分を2倍し，部分積分と $u = 2 t$ ， $u = an θ$ で計算する。(2) は差を同じ $[0, 1]$ 上の積分にそろえ， $x lo g (1 + 小さい量)$ を具体的に評価して極限を出す。

解答

(1)

$g (t) = lo g (4 t^{2} + 1)$ とおくと $f (x) = \int_{x}^{x + 1} g (t) d t$ である。積分区間の両端が $x$ によって動くので， $f^{'} (x) = g (x + 1) - g (x)$ である。したがって $f^{'} (x) = lo g (4 (x + 1)^{2} + 1) - lo g (4 x^{2} + 1) = lo g \frac{4 ( x + 1 ) ^{2} + 1}{4 x ^{2} + 1}$ である。 $f^{'} (x) = 0$ となるのは $4 (x + 1)^{2} + 1 = 4 x^{2} + 1$ のときであり，整理して $8 x + 4 = 0$ より $x = - \frac{1}{2}$ である。また， $4 (x + 1)^{2} + 1 < 4 x^{2} + 1$ は $(x + 1)^{2} < x^{2}$ すなわち $x < - \frac{1}{2}$ と同値である。よって $x < - 1/2$ で $f^{'} (x) < 0$ ， $x > - 1/2$ で $f^{'} (x) > 0$ となる。したがって $x = - 1/2$ で極小となる。

極小値を求める。 $f (- \frac{1}{2}) = \int_{- 1/2}^{1/2} lo g (4 t^{2} + 1) d t$ である。被積分関数は偶関数なので $f (- \frac{1}{2}) = 2 \int_{0}^{1/2} lo g (4 t^{2} + 1) d t$ である。ここで部分積分を用いると

\int_{0}^{1/2} lo g (4 t^{2} + 1) d t = [t lo g (4 t^{2} + 1)]_{0}^{1/2} - \int_{0}^{1/2} t \cdot \frac{8 t}{4 t ^{2} + 1} d t = \frac{1}{2} lo g 2 - \int_{0}^{1/2} \frac{8 t ^{2}}{4 t ^{2} + 1} d t .

さらに $\frac{8 t ^{2}}{4 t ^{2} + 1} = 2 - \frac{2}{4 t ^{2} + 1}$ だから

\int_{0}^{1/2} lo g (4 t^{2} + 1) d t = \frac{1}{2} lo g 2 - 1 + \int_{0}^{1/2} \frac{2}{4 t ^{2} + 1} d t

である。最後の積分で $u = 2 t$ とおくと $\int_{0}^{1/2} \frac{2}{4 t ^{2} + 1} d t = \int_{0}^{1} \frac{1}{u ^{2} + 1} d u$ である。さらに $u = an θ$ とおくと， $u = 0$ で $θ = 0$ ， $u = 1$ で $θ = π /4$ だから $\int_{0}^{1} \frac{1}{u ^{2} + 1} d u = \int_{0}^{π /4} 1 d θ = \frac{π}{4}$ である。よって

f (- \frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2} lo g 2 - 1 + \frac{π}{4}) = lo g 2 - 2 + \frac{π}{2}

である。したがって $x = - \frac{1}{2} で極小値 lo g 2 - 2 + \frac{π}{2}$ であり，極大値は存在しない。

(2)

$f (x) - f (x - 1) = \int_{x}^{x + 1} g (t) d t - \int_{x - 1}^{x} g (t) d t$ である。第1の積分で $t = x + u$ ，第2の積分で $t = x - 1 + u$ とおくと，どちらも $0 ≦ u ≦ 1$ となり， $f (x) - f (x - 1) = \int_{0}^{1} {g (x + u) - g (x - 1 + u)} d u$ である。したがって $x {f (x) - f (x - 1)} = \int_{0}^{1} x {g (x + u) - g (x - 1 + u)} d u$ である。

ここで

g (x + u) - g (x - 1 + u) = lo g \frac{4 ( x + u ) ^{2} + 1}{4 ( x + u - 1 ) ^{2} + 1} = lo g (1 + \frac{4 ( x + u ) ^{2} - 4 ( x + u - 1 ) ^{2}}{4 ( x + u - 1 ) ^{2} + 1}) = lo g (1 + \frac{8 x + 8 u - 4}{4 ( x + u - 1 ) ^{2} + 1}) .

$0 ≦ u ≦ 1$ とし， $A_{x} (u) = \frac{8 x + 8 u - 4}{4 ( x + u - 1 ) ^{2} + 1}$ とおく。 $x \to \infty$ では $A_{x} (u) > 0$ であり， $A_{x} (u) \to 0$ である。また $x A_{x} (u) = \frac{8 x ^{2} + 8 xu - 4 x}{4 ( x + u - 1 ) ^{2} + 1}$ であるから，分子と分母を $x^{2}$ で割ると $lim_{x \to \infty} x A_{x} (u) = 2$ である。この極限は $0 ≦ u ≦ 1$ で同じ値になる。

さらに， $A_{x} (u) \to 0$ であるから $\frac{l o g ( 1 + A _{x} ( u ))}{A _{x} ( u )} \to 1$ を用いると

x \to \infty lim x {g (x + u) - g (x - 1 + u)} = x \to \infty lim x A_{x} (u) \cdot \frac{lo g ( 1 + A _{x} ( u ))}{A _{x} ( u )} = 2

である。 $0 ≦ u ≦ 1$ で同じ評価が成り立つので，積分全体の極限は $lim_{x \to \infty} x {f (x) - f (x - 1)} = \int_{0}^{1} 2 d u = 2$ である。

九州大学 2026年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

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理系数学第5問