問題
点が複素数平面上の線分
の上を動くとき，
をみたす複素数を表す点が描く軌跡をとする。ただし，は虚数単位である。以下の問いに答えよ。
(1) 軌跡を複素数平面上に図示せよ。
(2) のときに複素数を表す点をとし，のときに複素数を表す点をとする。このとき，軌跡，線分，線分で囲まれる領域を虚軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ。ただし，は複素数平面の原点である。
出典：九州大学 2026年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
方程式を と変形し， を代入して の実部と虚部を で表す。， から が出るので，端点 を計算して双曲線の右枝の一部として図示する。(2) は虚軸回転なので， を高さとして外半径を双曲線側 ，内半径を線分側 とするワッシャー法で体積を求める。
解答
(1)
与えられた方程式 について，問題の範囲では なので である。したがって両辺を で割って を得る。ここで だから である。 とおくと である。よって となり，これらを掛けて を得る。
次に端点を求める。 のとき であるから である。したがって である。また， のとき より である。
さらに なので ， であり，特に である。したがって軌跡 は，双曲線 の右側の枝のうち，端点 から までの部分である。すなわち と表される曲線である。図示では，右に開く双曲線の枝を から まで切り取った弧として描けばよい。
(2)
求める領域は， において，右側が双曲線 である。左側の境界は線分 と線分 である。 では線分 上にあり，その式は である。 では線分 上にあり，その式は である。したがってまとめて と書ける。
この領域を虚軸，すなわち 軸のまわりに1回転する。高さ の断面は，外半径 内半径 の円環である。したがって体積は