九州大学 2026年度
理系数学 第4問

解答

(1)

$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ は正である。また $(\sqrt{2}+\sqrt{3}{)}^2=2+3+2\sqrt{6}=5+2\sqrt{6}$ である。したがって，正の平方根をとって $\boxed{\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5+2\sqrt{6}}}$ である。

次に，$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ が有理数であると仮定する。このとき，その2乗も有理数である。しかし $(\sqrt{2}+\sqrt{3}{)}^2=5+2\sqrt{6}$ であり，$\sqrt{6}$ は無理数なので $5+2\sqrt{6}$ も無理数である。これは矛盾である。よって $\boxed{\sqrt{2}+\sqrt{3}\text{ は無理数である}}$ ことが示された。

(2)

$x=\sqrt{2}+\sqrt{3}$ とおく。(1) の計算より $x^2=5+2\sqrt{6}$ であるから $x^2-5=2\sqrt{6}$ である。両辺を2乗して $(x^2-5{)}^2=24$ を得る。展開すると $x^4-10x^2+25=24$ すなわち $\boxed{x^4-10x^2+1=0}$ である。これは $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ を解にもち，係数がすべて有理数の4次方程式の1つである。

この方程式の解をすべて求める。$X=x^2$ とおくと $X^2-10X+1=0$ である。したがって $X=5\pm 2\sqrt{6}$ である。ここで $5+2\sqrt{6}=(\sqrt{3}+\sqrt{2}{)}^2,5-2\sqrt{6}=(\sqrt{3}-\sqrt{2}{)}^2$ である。よって4次方程式の解は $\boxed{x=\pm (\sqrt{2}+\sqrt{3}),x=\pm (\sqrt{3}-\sqrt{2})}$ である。

(3)

$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ を解にもち，係数がすべて有理数の2次方程式が存在すると仮定する。最高次の係数で割れば，ある有理数 $p,q$ によって $x^2+px+q=0$ と書ける。ただし $x=\sqrt{2}+\sqrt{3}$ である。

もし $p=0$ なら $x^2=-q$ となり，$x^2$ は有理数である。しかし $x^2=5+2\sqrt{6}$ は無理数であるから矛盾する。したがって $p\ne 0$ である。

このとき $x=-\frac{x^2+q}{p}=-\frac{5+q}{p}-\frac{2}{p}\sqrt{6}$ である。よって，ある有理数 $a,b$ を用いて $x=a+b\sqrt{6}$ と表せる。すなわち $\sqrt{2}+\sqrt{3}=a+b\sqrt{6}$ である。両辺を2乗すると $5+2\sqrt{6}=a^2+6b^2+2ab\sqrt{6}$ となる。左辺と右辺の有理数部分と $\sqrt{6}$ の係数を比べて $a^2+6b^2=5,2ab=2$ すなわち $a^2+6b^2=5,ab=1$ を得る。$ab=1$ より $a\ne 0$ であり，$b=1/a$ である。これを代入して $a^2+\frac{6}{a^2}=5$ となる。$u=a^2$ とおくと $u^2-5u+6=0$ であるから $u=2\text{または}u=3$ である。すなわち $a^2=2\text{または}{a}^2=3$ である。しかし $a$ は有理数なので，これは $\sqrt{2}$ または $\sqrt{3}$ が有理数であることを意味し，問題で用いてよい無理数性に反する。

したがって，$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ を解にもち，係数がすべて有理数の2次方程式は $\boxed{存在しない}$。