九州大学 2026年度理系数学第1問解答・解説

問題

座標空間内で，原点 $O$ を中心とする半径3の球を $S$ とする。また，点 $P (1, 0, 3)$ を考え， $T_{1}$ と $T_{2}$ を直線 $O P$ と直交する相異なる2つの平面とする。 $T_{1}$ と $S$ の共通部分を $C_{1}$ ， $T_{2}$ と $S$ の共通部分を $C_{2}$ とし，次の2つの条件をみたすとする。

● $C_{1}$ と $C_{2}$ はどちらも半径1の円である。

● $C_{1}$ の中心の $z$ 座標は正で， $C_{2}$ の中心の $z$ 座標は負である。

以下の問いに答えよ。

(1) 円 $C_{1}$ ， $C_{2}$ の中心の座標を求めよ。

(2) 円 $C_{1}$ ， $C_{2}$ を底面とする円柱の側面を平面 $z = 0$ で切る。その切り口の曲線の方程式を求めよ。また，その曲線を図示せよ。

出典：九州大学 2026年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

平面が直線 $O P$ に直交するため，球との断面円の中心は直線 $O P$ 上にある。球の中心から断面円の中心までの距離は，球の半径3と断面円の半径1から三平方の定理で求める。(2) では2つの円を底面とする円柱の軸が直線 $O P$ ，半径が1であることを使い，平面 $z = 0$ 上の点 $(x, y, 0)$ から軸までの距離が1である条件を式にする。最後に楕円の頂点を示して図示内容を明確にする。

解答

(1)

O P = (1, 0, 3), ∣ O P ∣ = 1 + 3 = 2

である。平面 $T_{1}, T_{2}$ は直線 $O P$ と直交しているので，球 $S$ との共通部分である円 $C_{1}, C_{2}$ の中心は直線 $O P$ 上にある。

球 $S$ の半径は $3$ であり，断面円の半径は $1$ である。球の中心 $O$ から断面円の中心までの距離を $d$ とすると，直角三角形より $d^{2} + 1^{2} = 3^{2}$ だから $d = 22$ である。直線 $O P$ の単位方向ベクトルは $\frac{1}{2} (1, 0, 3)$ であるから，円の中心の候補は $\pm 22 \cdot \frac{( 1 , 0 , 3 )}{2} = \pm (2, 0, 6)$ である。 $C_{1}$ の中心の $z$ 座標は正， $C_{2}$ の中心の $z$ 座標は負なので，

C_{1} の中心 (2, 0, 6), C_{2} の中心 (- 2, 0, - 6)

である。

(2)

2つの円 $C_{1}, C_{2}$ を底面とする円柱は，軸が直線 $O P$ ，半径が $1$ の円柱である。平面 $z = 0$ 上の点を $X = (x, y, 0)$ とする。点 $X$ から直線 $O P$ までの距離が $1$ であることが，切り口の条件である。

直線 $O P$ の方向ベクトルを $v = (1, 0, 3)$ とおくと， $∣ v ∣^{2} = 4$ である。点 $X$ の位置ベクトルを同じく $X = (x, y, 0)$ と書けば， $X$ のうち軸方向成分の長さの2乗は $\frac{( X \cdot v ) ^{2}}{∣ v ∣ ^{2}} = \frac{x ^{2}}{4}$ である。したがって，軸からの距離の2乗は

∣ X ∣^{2} - \frac{( X \cdot v ) ^{2}}{∣ v ∣ ^{2}} = x^{2} + y^{2} - \frac{x ^{2}}{4} = \frac{3}{4} x^{2} + y^{2}

である。これが $1$ に等しいので，切り口の曲線は $\frac{3}{4} x^{2} + y^{2} = 1$ である。

これは平面 $z = 0$ 上の楕円であり， $\frac{x ^{2}}{4/3} + y^{2} = 1$ と書ける。したがって $x$ 軸方向の半径は $2/ 3$ ， $y$ 軸方向の半径は $1$ である。図示すると，中心は原点，頂点は $(\pm \frac{2}{3}, 0), (0, \pm 1)$ で， $x$ 軸方向に少し長い楕円である。

九州大学 2026年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 2026年度
理系数学第1問