九州大学 2022年度文系数学第4問解答・解説

問題

定積分について述べた次の文章を読んで，後の問いに答えよ。

$f (x)$ を整式とする。 $F^{'} (x) = f (x)$ となる関数 $F (x)$ を1つ選び， $f (x)$ の $a$ から $b$ までの定積分を

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) \dots\dots (1)

で定義する。定積分の値は $F (x)$ の選び方によらずに定まる。定積分は次の性質(A)，(B)，(C)をもつ。

(A) $\int_{a}^{b} {k f (x) + l g (x)} d x = k \int_{a}^{b} f (x) d x + l \int_{a}^{b} g (x) d x$

(B) $a ≦ c ≦ b$ のとき， $\int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x$

ただし， $f (x), g (x), h (x)$ は整式， $k, l$ は定数である。
以下， $f (x)$ が区間 $0 ≦ x ≦ 1$ 上で増加関数になる場合を考える。 $n$ を自然数とする。定積分の性質　[　ア　]　を用い，定数関数に対する定積分の計算を行うと，

\frac{1}{n} f (\frac{i - 1}{n}) ≦ \int_{\frac{i - 1}{n}}^{\frac{i}{n}} f (x) d x ≦ \frac{1}{n} f (\frac{i}{n}) (i = 1, 2, \dots, n) \dots\dots (2)

が成り立つことがわかる。 $S_{n} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n f (\frac{i - 1}{n})$ とおくと，不等式(2)と定積分の性質　[　イ　]　より次の不等式が成り立つ。

0 ≦ \int_{0}^{1} f (x) d x - S_{n} ≦ \frac{f ( 1 ) - f ( 0 )}{n} \dots\dots (3)

よって， $n$ を限りなく大きくすると， $S_{n}$ は $\int_{0}^{1} f (x) d x$ に限りなく近づく。

(1) 関数 $F (x), G (x)$ が微分可能であるとき，

{F (x) + G (x)}^{'} = F^{'} (x) + G^{'} (x)

が成り立つことと定積分の定義(1)を用いて，性質(A)で $k = l = 1$ とした場合の等式

\int_{a}^{b} {f (x) + g (x)} d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x

を示せ。

(2) 定積分の定義(1)と，関数の増減と導関数の関係を用いて，次を示せ。
$a < b$ のとき，区間 $a ≦ x ≦ b$ において $g (x) > 0$ ならば， $\int_{a}^{b} g (x) d x > 0$

(3) (A)，(B)，(C)のうち，空欄　[　ア　]　に入る記号として最もふさわしいものを1つ選び答えよ。また文章中の下線部の内容を詳しく説明することで，不等式(2)を示せ。

(4) (A)，(B)，(C)のうち，空欄　[　イ　]　に入る記号として最もふさわしいものを1つ選び答えよ。また，不等式(3)を示せ。

出典：九州大学 2022年度前期日程第2次学力試験文系第4問

方針

定積分を面積としてではなく，問題文の定義 $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ に従って扱う。(1) は $F + G$ が $f + g$ の原始関数になることを使い，定義に代入して左右を一致させる。(2) は $G^{'} (x) = g (x) > 0$ なら $G$ が増加することから $G (b) - G (a) > 0$ を導く。(3) は増加関数を小区間の左右端の定数関数ではさみ，性質(C)で積分の大小へ移す。(4) は小区間ごとの不等式を足し，性質(B)で全区間の積分にまとめ，最後は和の差を望ましい形に望遠和として整理する。

解答

(1)

$F^{'} (x) = f (x)$ ， $G^{'} (x) = g (x)$ とする。問題文で与えられている微分の性質より ${F (x) + G (x)}^{'} = F^{'} (x) + G^{'} (x) = f (x) + g (x)$ であるから， $F (x) + G (x)$ は $f (x) + g (x)$ の原始関数である。したがって定積分の定義から

\int_{a}^{b} {f (x) + g (x)} d x = {F (b) + G (b)} - {F (a) + G (a)} = {F (b) - F (a)} + {G (b) - G (a)} = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x

となる。

(2)

$G^{'} (x) = g (x)$ となる関数 $G (x)$ を1つ取る。区間 $a ≦ x ≦ b$ で $g (x) > 0$ であるから，導関数と関数の増減の関係より， $G (x)$ はこの区間で増加関数である。特に $a < b$ なら $G (b) > G (a)$ である。定積分の定義より $\int_{a}^{b} g (x) d x = G (b) - G (a) > 0$ が成り立つ。

(3)

空欄 [ア] に入るのは $(C)$ である。 $f (x)$ は $0 ≦ x ≦ 1$ で増加関数であるから， $\frac{i - 1}{n} ≦ x ≦ \frac{i}{n}$ において $f (\frac{i - 1}{n}) ≦ f (x) ≦ f (\frac{i}{n})$ が成り立つ。ここで左右は定数関数である。定数 $c$ に対しては，原始関数として $c x$ を取れば

\int_{\frac{i - 1}{n}}^{\frac{i}{n}} c d x = c (\frac{i}{n} - \frac{i - 1}{n}) = \frac{c}{n}

である。よって性質(C)を用いると

\frac{1}{n} f (\frac{i - 1}{n}) ≦ \int_{\frac{i - 1}{n}}^{\frac{i}{n}} f (x) d x ≦ \frac{1}{n} f (\frac{i}{n})

が得られる。これが不等式(2)である。

(4)

空欄 [イ] に入るのは $(B)$ である。

(2) の不等式を $i = 1, 2, \dots, n$ について足すと，左辺は $\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} f (\frac{i - 1}{n}) = S_{n}$ である。中央の和は性質(B)により

i = 1 \sum n \int_{\frac{i - 1}{n}}^{\frac{i}{n}} f (x) d x = \int_{0}^{1} f (x) d x

となる。したがって

S_{n} ≦ \int_{0}^{1} f (x) d x ≦ \frac{1}{n} i = 1 \sum n f (\frac{i}{n})

である。右端と左端の差を取ると

\frac{1}{n} i = 1 \sum n f (\frac{i}{n}) - S_{n} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n {f (\frac{i}{n}) - f (\frac{i - 1}{n})} = \frac{f ( 1 ) - f ( 0 )}{n}

であるから $0 ≦ \int_{0}^{1} f (x) d x - S_{n} ≦ \frac{f ( 1 ) - f ( 0 )}{n}$ が示された。

九州大学 2022年度文系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

九州大学 2022年度
文系数学第4問