九州大学 2022年度
文系数学 第1問

解答

(1)

$g(x)=x^2+(3-a)x-3a=(x-a)(x+3)$ とおく。曲線 $C$ は，$g(x)\geqq 0$ の部分では $y=g(x)$，$g(x)\leqq 0$ の部分では $y=-g(x)$ である。直線 $l:y=-x+13$ が $C$ に接するには，どちらかの枝との交点が重解になればよい。

まず $y=g(x)$ と $l$ の共有点は $x^2+(3-a)x-3a=-x+13$ すなわち $x^2+(4-a)x-3a-13=0$ の解である。この判別式は $(4-a{)}^2+4(3a+13)=a^2+4a+68=(a+2{)}^2+64>0$ であるから，この枝では接しない。

次に $y=-g(x)$ と $l$ の共有点は $-x^2-(3-a)x+3a=-x+13$ すなわち $x^2-(a-2)x-3a+13=0$ の解である。この判別式は $(a-2{)}^2+4(3a-13)=a^2+8a-48=(a-4)(a+12)$ である。接するためには判別式が $0$ であり，$-3<a<13$ も満たすので $a=4$ である。

(2)

$a=4$ のとき $g(x)=x^2-x-12=(x-4)(x+3)$ である。接点は $x^2-2x+1=0$ より $x=1$ である。また，枝 $y=g(x)$ と直線の交点は $x^2-x-12=-x+13$ より $x^2-25=0,x=-5,5$ である。したがって直線と曲線で囲まれる2つの図形は，接点 $x=1$ を境に左側と右側に分かれる。点 $(a,0)=(4,0)$ は右側の図形の境界上にあるので，求める面積は $1\leqq x\leqq 5$ の側である。 $1\leqq x\leqq 4$ では $g(x)\leqq 0$ だから $C:y=-g(x)$，$4\leqq x\leqq 5$ では $C:y=g(x)$ である。よって面積 $S$ は

ここで ${\int }_1^4(x^2-2x+1)dx={\int }_1^4(x-1{)}^{2}dx=9$ であり，${\int }_4^5(25-x^2)dx={\left[25x-\frac{x^3}{3}\right]}_4^5=\frac{14}{3}$ である。したがって $S=9+\frac{14}{3}=\frac{41}{3}$ である。