問題
を実数とし，整式を
で定める。方程式が虚数解をもつとき，以下の問いに答えよ。
(1) はで割り切れることを示せ。
(2) 方程式は負の実数解をもつことを示せ。
(3) 方程式のすべての実数解が整数であり，すべての虚数解の実部と虚部がともに整数であるとする。このようなをすべて求めよ。
出典：九州大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
を直接確認して，まず既知の実数解 を取り出す。残りの3次式が虚数解をもつなら，実係数であるため虚数解は共役な2解となり，残り1つは実数解である。その実数解の符号は根の積から判定する。整数条件のある最後の設問では，3次式の根を ， と置き，，， を係数比較して候補を有限個に絞る。
解答
(1)
直接代入すると である。よって剰余の定理より， は で割り切れる。
(2)
割り算を行うと である。 は実数解なので，方程式 が虚数解をもつなら，3次式 が虚数解をもつ。 は実係数だから，虚数解は共役な2解であり，それらを とおくことができる。残りの実数解を とする。
3次式 の根の積は，定数項を用いて である。ここで だから である。したがって は負の実数解をもつ。
(3)
(2) と同じく，3次式 の実数解を ，虚数解を とおく。条件より は整数であり， としてよい。すると である。展開して係数を比べると を得る。
第2式より は の負の約数である。また第1式から でなければならない。候補を調べると
となる。したがって可能なのは だけである。
最後に第3式 を用いる。 のとき であるから ，すなわち である。 のとき であるから ，すなわち である。
よって求める値は である。