問題
座標空間内の4点
を考える。3点を通る平面をとし，とおく。以下の問いに答えよ。
(1) ベクトルの両方に垂直であり，成分が正であるような，大きさが1のベクトルを求めよ。
(2) 点から平面に垂線を下ろし，その交点をとおく。線分の長さを求めよ。
(3) 平面に関して点と対称な点の座標を求めよ。
出典：九州大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
まず と に同時に垂直なベクトルを成分で置き，内積が になる連立条件から法線方向を決める。単位ベクトル が得られれば，平面 は に垂直で原点を通る平面である。点 から平面までの距離は， の法線方向成分の大きさとして求め，垂線の足と対称点はその法線方向成分を引くことで求める。
解答
(1)
である。 の両方に垂直なベクトルを とおくと，内積が であることから を満たす。第1式より であり，これを第2式に代入すると である。したがって法線方向のベクトルは である。 成分が正で，大きさが になるようにすると より である。
(2)
平面 は原点を通り，法線ベクトルとして をもつ。よって平面 の方程式は である。点 を代入すると であり，法線ベクトル の大きさは である。したがって点 と平面 の距離は である。
(3)
(1) の は平面 の正の向きの単位法線ベクトルであり，(2) より点 は平面から だけ離れている。したがって垂線の足 は
である。平面に関する対称点 は， を中点として の反対側にあるから である。