問題
を2以上の自然数，を実数として，次の条件によって定められる個の項からなる数列を考える。
(1) とするとき，数列の一般項を求めよ。
(2) 数列の一般項を求めよ。さらに，を満たすをとするとき，をの式で表せ。
(3) (2)で求めたについて，の場合における数列の中で最小の項をとする。となるすべてのをの式で表せ。さらに，を求めよ。
出典：九州大学 2021年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第2問
方針
2階差をそのまま扱わず、まず と置いて1階差の和に直す。(1)で を求め、(2)ではさらに を から まで足して を得る。 は積の因子 だけが0になる条件である。(3)では のもとで負になる部分を確認し、最小値は の最大値に対応するので、差 の符号で整数の最大位置を決める。
解答
(1)
とおく。与えられた漸化式は であるから である。また である。したがって について であり、 となる。よって である。
(2)
であり、 だから である。(1)の結果を用いると である。ここで とおくと であるから
である。したがって である。
特に である。 なので と は0でない。よって となる条件は であり、 である。
(3)
のとき である。 では であり、 では なので である。
したがって最小の項を求めるには の最大値を、整数 の範囲で求めればよい。差を計算すると である。
よって では 、 では である。また では差が0なので である。したがって は で最大となる。ゆえに となるのは である。
最小値は である。したがって
である。