問題
座標空間において，中心，半径1で平面内にある円をとする。を底面とし，の部分にある高さ3の直円柱（内部を含む）をとする。点と軸を含む平面でを2つの立体に分け，を含む方をとする。以下の問いに答えよ。
(1) とする。平面でを切ったときの断面積を求めよ。また，の体積を求めよ。
(2) を軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。
出典：九州大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第5問
方針
まず、点 と 軸を含む平面の方程式を求める。この平面は で、底面 を含む側は である。したがって は円柱のうち を満たす部分として表せる。(1)は で切り、 の範囲を として断面積を積分する。(2)は同じ の断面を 軸のまわりに回したときの内半径と外半径を求め、円環の面積をさらに で積分する。
解答
点 と 軸を含む平面を求める。 軸の方向ベクトルは であり、原点から点 へ向かうベクトルは である。したがってこの平面は である。
底面 は にあり、かつ であるから、 を含む側は の側である。よって立体 は で表される。
(1)
とし、平面 で切る。このとき であるから である。各 に対して なので、断面積 は
である。
したがって の体積は
である。ここで は半径1の半円の面積 である。
(2)
を固定し、 とおく。この断面は 平面内で を満たす領域である。
この領域を 軸のまわりに回転させる。 軸からの距離は である。最小距離は 、 のとき である。最大距離は 、 のとき である。断面領域内で距離はこの間を連続的に動くので、回転後の における断面は内半径 、外半径 の円環である。
したがってその断面積は
である。 より、求める体積は
である。