問題
を整数とし，を虚数単位とする。整式がをみたすとき，以下の問いに答えよ。
(1) をを用いて表せ。
(2) を7で割ると1余り，11で割ると10余るとする。また，を7で割ると3余り，11で割ると10余るとする。の絶対値との絶対値がともに40以下であるとき，方程式の解をすべて求めよ。
出典：九州大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第2問
方針
は の解である。整数係数の四次式なので を因数にもつとし、残りを二次式にして係数比較を行う。合同条件はまず だけを から決め、次に で を決める。別解として、 のべきの関係を使い、剰余から直接 を求める方法もある。
解答
(1)
とおくと である。 は整数係数、特に実係数なので、 の共役複素数も解である。したがって が の因数である。 は最高係数1の四次式なので と書ける。展開すると
である。係数比較より である。、 だから である。
(2)
(1)より であり、 である。まず の条件から である。したがって である。 とおくと、 より である。 だから となり、 である。 より が決まる。
次に の条件を用いる。 より である。条件は であるから となる。よって すなわち である。 より である。
したがって であり、 となる。よって方程式 の解は
である。
別解。
(1)は剰余で直接求めてもよい。 より 、 である。したがって
である。 は実数でないから、これが0になるには が必要である。よって 、 を得る。