九州大学 2020年度理系数学前期第1問解答・解説

問題

点 $(a, 0)$ を通り，曲線 $y = e^{- x} - e^{- 2 x}$ に接する直線が存在するような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

出典：九州大学 2020年度前期日程第2次学力試験理系前期第1問

方針

接点の $x$ 座標を直接追うと指数が残るので、 $u = e^{- t}$ とおく。接線が $x$ 軸と交わる点の $x$ 座標を $u$ の関数として表し、その値域が求める $a$ の範囲になる。傾きが0になる $u = \frac{1}{2}$ では接線が水平で $x$ 軸と交わらないため除外する。あとは $0 < u < \frac{1}{2}$ と $u > \frac{1}{2}$ に分け、増減と端の極限を調べる。

解答

接点の $x$ 座標を $t$ とし、 $u = e^{- t}$ とおく。すると $u > 0$ であり、曲線上の点の $y$ 座標は $e^{- t} - e^{- 2 t} = u - u^{2}$ である。また導関数は $y^{'} = - e^{- x} + 2 e^{- 2 x}$ だから、接点での傾きは $- u + 2 u^{2} = u (2 u - 1)$ である。 $u = \frac{1}{2}$ のとき傾きは0で、接線は $y = \frac{1}{4}$ となり $x$ 軸上の点を通らない。よって $u \neq = \frac{1}{2}$ とする。接線が $x$ 軸と交わる点の $x$ 座標を $a$ とすると $0 - (u - u^{2}) = u (2 u - 1) (a - t)$ であるから $a = t - \frac{u - u ^{2}}{u ( 2 u - 1 )} = - lo g u - \frac{1 - u}{2 u - 1}$ である。そこで $ϕ (u) = - lo g u - \frac{1 - u}{2 u - 1}$ とおき、この値域を調べる。

微分すると

ϕ^{'} (u) = - \frac{1}{u} + \frac{1}{( 2 u - 1 ) ^{2}} = - \frac{( u - 1 ) ( 4 u - 1 )}{u ( 2 u - 1 ) ^{2}}

である。

まず $0 < u < \frac{1}{2}$ を考える。この区間では $u = \frac{1}{4}$ で増減が変わり、 $ϕ (u)$ はそこで最小となる。また $lim_{u \to 0 + 0} ϕ (u) = \infty, lim_{u \to 1/2 - 0} ϕ (u) = \infty$ である。最小値は $ϕ (\frac{1}{4}) = lo g 4 - \frac{3/4}{- 1/2} = lo g 4 + \frac{3}{2}$ である。したがってこの区間から得られる $a$ は $a ≧ lo g 4 + \frac{3}{2}$ である。

次に $u > \frac{1}{2}$ を考える。この区間では $u = 1$ で最大となり、 $ϕ (1) = 0$ である。また

u \to 1/2 + 0 lim ϕ (u) = - \infty, u \to \infty lim ϕ (u) = - \infty

である。したがってこの区間から得られる $a$ は $a ≦ 0$ である。

以上より、求める範囲は $a ≦ 0, a ≧ lo g 4 + \frac{3}{2}$ である。

九州大学 2020年度理系数学 前期 第1問

問題

方針

解答

九州大学 2020年度
理系数学前期第1問