問題
四面体において，辺の中点と辺の中点を通る直線を，辺の中点と辺の中点を通る直線を，辺の中点と辺の中点を通る直線をとする。，，であり，，，のとき，以下の問いに答えよ。
(1) 直線と直線のなす角 を求めよ。
(2) 四面体の4つの頂点をすべて通る球の半径を求めよ。
出典：九州大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第3問
方針
を基本ベクトルにし、中点同士を結ぶ3本の直線の方向ベクトルを表す。直交条件を内積で書くと、実は が与えられた3辺 の長さから順に決まる。そこから内積表を完成させれば、(1)の角は内積公式で出る。(2)は外接球の中心ベクトル が などを満たすことを使い、 と見抜いて半径を求める。
解答
とおく。また
とする。
直線 の方向ベクトルは、それぞれ
としてよい。例えば は の中点 と の中点 を結ぶからである。
また、与えられた辺の長さから である。
直交条件を内積で書くと より である。したがって を得る。同様に から であり、 から である。
よって である。さらに
となる。
(1)
直線 の方向ベクトルは であり、直線 の方向ベクトルは としてよい。したがって、なす角 の余弦は
である。ここで であり、 だから である。 より である。
(2)
外接球の中心を表すベクトルを とする。点Oと点Aから等距離である条件は であり、これは と同値である。同様に である。
ここで とおくと であり、同様に である。したがってこの が外接球の中心である。
外接球の半径 は であるから
である。よって求める半径は である。