九州大学 2018年度文系数学前期第3問解答・解説

問題

平面上に三角形 $A B C$ と点 $O$ が与えられている。この平面上の動点 $P$ に対し，

L = P A^{2} + P B^{2} + P C^{2}

とおく。以下の問いに答えよ。

(1) $a = O A$ ， $b = O B$ ， $c = O C$ および $x = O P$ とおくとき，次の等式を示せ。

L = 3 ∣ x ∣^{2} - 2 (a + b + c) \cdot x + ∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} + ∣ c ∣^{2}

(2) $L$ を最小にする点 $P$ は三角形 $A B C$ の重心であることを示せ。また， $L$ の最小値は

\frac{1}{3} (A B^{2} + B C^{2} + C A^{2})

であることを示せ。

出典：九州大学 2018年度前期日程第2次学力試験文系前期第3問

方針

各距離の2乗を $∣ x - a ∣^{2}$ の形で展開して足す。最小化は $x$ について平方完成し、最小点が $(a + b + c) /3$ 、つまり重心であることを示す。最小値は展開して辺の長さ $A B, B C, C A$ の式に戻す。別解として、重心 $G$ を先に置いて $G A + GB + GC = 0$ を使う方法も自然である。

解答

(1)

$P A = a - x$ であるから $P A^{2} = ∣ x - a ∣^{2} = ∣ x ∣^{2} - 2 a \cdot x + ∣ a ∣^{2}$ である。同様に $P B^{2} = ∣ x ∣^{2} - 2 b \cdot x + ∣ b ∣^{2},$ $P C^{2} = ∣ x ∣^{2} - 2 c \cdot x + ∣ c ∣^{2}$ である。これらを足すと

L = 3∣ x ∣^{2} - 2 (a + b + c) \cdot x + ∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} + ∣ c ∣^{2}

となり、示すべき等式を得る。

(2)

(1) の式を $x$ について平方完成する。 $g = (a + b + c) /3$ とおくと、

L = 3∣ x - g ∣^{2} + ∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} + ∣ c ∣^{2} - 3∣ g ∣^{2}

である。第1項は常に0以上であり、 $x = g$ のときにだけ0になる。したがって $L$ を最小にする点 $P$ は $O P = \frac{a + b + c}{3}$ を満たす点、すなわち三角形 $A B C$ の重心である。

最小値を辺の長さで表す。上の最小値は

∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} + ∣ c ∣^{2} - \frac{∣ a + b + c ∣ ^{2}}{3}

である。一方、

A B^{2} + B C^{2} + C A^{2} = ∣ a - b ∣^{2} + ∣ b - c ∣^{2} + ∣ c - a ∣^{2}

であり、展開すると

A B^{2} + B C^{2} + C A^{2} = 2 (∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} + ∣ c ∣^{2} - a \cdot b - b \cdot c - c \cdot a)

である。また

∣ a + b + c ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} + ∣ c ∣^{2} + 2 (a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)

なので、最小値は $\frac{1}{3} (A B^{2} + B C^{2} + C A^{2})$ となる。

別解。重心を $G$ とすると $G A + GB + GC = 0$ である。任意の点 $P$ について、 $P A = P G + G A$ などと書くと、交差項が消えて $P A^{2} + P B^{2} + P C^{2} = 3 P G^{2} + G A^{2} + G B^{2} + G C^{2}$ となる。したがって最小となるのは $P = G$ のときである。また重心の性質から $G A^{2} + G B^{2} + G C^{2} = \frac{1}{3} (A B^{2} + B C^{2} + C A^{2})$ であり、同じ最小値を得る。

九州大学 2018年度文系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 2018年度
文系数学前期第3問