九州大学 2018年度文系数学前期第2問解答・解説

問題

以下の問いに答えよ。

(1) $n$ を自然数とするとき， $2^{n}$ を7で割った余りを求めよ。

(2) 自然数 $m$ は，2進法で101が6回連続する表示

101101101101101101_{(2)}

をもつとする。 $m$ を7で割った余りを求めよ。

出典：九州大学 2018年度前期日程第2次学力試験文系前期第2問

方針

(1) は $2^{3} \equiv 1 (mod 7)$ から周期3で余りを分類する。(2) は2進法表示を $101$ の6ブロックに区切り、 $2^{3} \equiv 1 (mod 7)$ により各ブロックの桁ずれが余りを変えないことを使う。最後は余りを $0$ から $6$ の範囲で答える。

解答

(1)

7で割った余りを調べると $2^{1} \equiv 2, 2^{2} \equiv 4, 2^{3} \equiv 8 \equiv 1 (mod 7)$ である。したがって $2^{n}$ の余りは $n$ を3で割った余りだけで決まる。すなわち

⎩ ⎨ ⎧ 2^{n} \equiv 2 (mod 7) 2^{n} \equiv 4 (mod 7) 2^{n} \equiv 1 (mod 7) (n \equiv 1 (mod 3)), (n \equiv 2 (mod 3)), (n \equiv 0 (mod 3))

である。

(2)

2進法の $101$ は10進法で $1 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2 + 1 = 5$ である。与えられた数は $101$ が6回並ぶので、3桁ずつ区切れば $m = 5 {(2^{3})^{5} + (2^{3})^{4} + (2^{3})^{3} + (2^{3})^{2} + 2^{3} + 1}$ である。ところが $2^{3} \equiv 1 (mod 7)$ だから $m \equiv 5 (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) = 30 \equiv 2 (mod 7)$ となる。したがって、求める余りは $2$ である。

九州大学 2018年度文系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 2018年度
文系数学前期第2問