問題
座標平面内の曲線が点において軸に接しているとする。ただし，，は実数，である。以下の問いに答えよ。
(1) ，をそれぞれを用いて表せ。
(2) この曲線と軸で囲まれた部分の面積をとする。を最小にするの値を求めよ。
出典：九州大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第1問
方針
で 軸に接するので、三次式は を重解にもつ。定数項が であることから残りの一次因子を決め、 を係数比較で求める。面積はもう1つの交点から接点までの積分で表し、 と置いて区間長 だけに依存する形に直す。最後は で最小化する。
解答
(1)
曲線が点 で 軸に接するので、方程式 は を重解にもつ。よって とおける。定数項を比較すると であり、 だから である。したがって であり、展開すると
となる。よって である。
(2)
もう1つの 軸との交点は である。区間 では かつ なので、曲線は 軸の上側にある。したがって面積は である。ここで とおくと、 であり、積分区間は になる。よって である。計算すると
となる。 より であり、等号は のときに限る。したがって を最小にする は である。