問題
赤玉2個，青玉1個，白玉1個が入った袋が置かれた円形のテーブルの周りにA，B，Cの3人がこの順番で時計回りに着席している。3人のうち，ひとりが袋から玉を1個取り出し，色を確認したら袋にもどす操作を考える。1回目はAが玉を取り出し，次のルール(a)，(b)，(c)に従って勝者が決まるまで操作を繰り返す。
(a) 赤玉を取り出したら，取り出した人を勝者とする。
(b) 青玉を取り出したら，次の回も同じ人が玉を取り出す。
(c) 白玉を取り出したら，取り出した人の左隣りの人が次の回に玉を取り出す。
A，B，Cの3人が回目に玉を取り出す確率をそれぞれ とする。ただし，，である。以下の問いに答えよ。
(1) Aが4回目に勝つ確率と7回目に勝つ確率をそれぞれ求めよ。
(2) とおくとき，を求めよ。
(3) 自然数に対し，をとを用いて表せ。
% 図は省略
方針
赤で終了する確率が，青または白で継続する確率がそれぞれである。まずの1回遷移を立て，(1)は必要な項を順に計算してAがその回に赤を出す確率を掛ける。(2)は合計の漸化式だけを取り出す。(3)は3回分の遷移をまとめ，を作って添字を合わせる。
解答
赤玉が出る確率は，青玉が出る確率と白玉が出る確率はそれぞれである。赤玉が出た時点で終了するので，は「回目の操作が行われ，その担当者がA,B,Cである確率」を表している。
白玉が出ると次の人へ移り，青玉が出ると同じ人が続けるので，漸化式は である。
(1)
初期値はである。上の漸化式から順に計算すると である。Aが4回目に勝つには，4回目の担当がAで，その回に赤玉を出せばよいから である。
さらに計算すると であり，したがって である。よってAが7回目に勝つ確率は である。
(2)
とおく。3つの漸化式を足すと である。なので である。
(3)
1回の遷移で
である。3回分をまとめると，A成分について となる。ここでを用いると であるから である。
これにの代わりにを入れると，に対して である。(2)よりなので である。