九州大学 2017年度
理系数学 前期 第1問

解答

(1)

原点以外の交点の$x$座標を$x$とすると，$0<x<\frac{\pi }{2}$ であり，特に$\sin x>0$，$\cos x>0$である。交点条件は $a\tan x=\sin 2x=2\sin x\cos x$ である。$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$を用い，$\sin x$で割ると $\frac{a}{\cos x}=2\cos x$ すなわち $a=2{\cos }^{2}x$ である。$0<x<\frac{\pi }{2}$では$0<{\cos }^{2}x<1$なので，原点以外の交点をもつ条件は $0<a<2$ である。

(2)

交点$P$の$x$座標を$p$とする。(1)より $a=2{\cos }^{2}p$ である。$C_1:y=a\tan x$の接線の傾きは $a{\sec }^{2}p=\frac{a}{{\cos }^{2}p}=2$ である。一方，$C_2:y=\sin 2x$の接線の傾きは $2\cos 2p$ である。2本の接線が直交するためには傾きの積が$-1$であればよいから $2\cdot 2\cos 2p=-1$ である。したがって $\cos 2p=-\frac{1}{4}$ である。また $a=2{\cos }^{2}p=1+\cos 2p$ より $a=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ である。

(3)

$a=\frac{3}{4}$のとき，$0<x<p$では$2{\cos }^{2}x>a$であるから，交点条件の比較より $\sin 2x>a\tan x$ である。よって囲まれた部分の面積は ${\int }_0^p\left(\sin 2x-\frac{3}{4}\tan x\right)dx$ である。

ここで ${\int }_0^p\sin 2xdx={\left[-\frac{1}{2}\cos 2x\right]}_0^p=\frac{1}{2}(1-\cos 2p)$ であり，また ${\int }_0^p\tan xdx={\left[-\log (\cos x)\right]}_0^p=-\log (\cos p)$ である。したがって面積は $\frac{1}{2}(1-\cos 2p)+\frac{3}{4}\log (\cos p)$ である。$\cos 2p=-\frac{1}{4}$より ${\cos }^{2}p=\frac{1+\cos 2p}{2}=\frac{3}{8}$ だから，$\cos p>0$に注意して $\log (\cos p)=\frac{1}{2}\log \frac{3}{8}$ である。よって求める面積は $\frac{5}{8}+\frac{3}{8}\log \frac{3}{8}$ である。