九州大学 2015年度
理系数学 前期 第5問

解答

(1)

$n$ は正の偶数なので、$n=2m$ と書ける。$2^2=4\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ であるから $2^n=2^{2m}=(2^2{)}^m\equiv 1^m\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ である。よって $2^n-1\equiv 0(\mathrm{mod}3)$ となり、$2^n-1$ は3の倍数である。

(2)

$2^n+1$ と $2^n-1$ の正の公約数を $d$ とする。このとき $d$ は差 $(2^n+1)-(2^n-1)=2$ を割り切る。したがって $d$ は1または2である。

一方、$2^n+1$ も $2^n-1$ も奇数であるから、2を公約数にもつことはない。したがって $d=1$ であり、$2^n+1$ と $2^n-1$ は互いに素である。

(3)

まず $p=2$ とすると、左辺は $2^{p-1}-1=1$ であるが、右辺 $p{q}^2$ は2以上なので不可能である。

以下、$p$ は奇素数とする。このとき $p-1$ は正の偶数であるから、(1)より $2^{p-1}-1$ は3の倍数である。したがって右辺 $p{q}^2$ も3の倍数であり、$p=3$ または $q=3$ である。

もし $p=3$ なら $2^{p-1}-1=2^2-1=3$ であり、方程式は $3=3q^2$ となる。これは $q^2=1$ を意味し、$q$ が素数であることに反する。よって $p\ne 3$ であり、したがって $q=3$ である。

このとき方程式は $2^{p-1}-1=9p$ である。$p$ は3でない奇素数なので、$m=\frac{p-1}{2}$ とおくと $m$ は正の整数で、$2^{p-1}-1=(2^m-1)(2^m+1)$ である。よって $(2^m-1)(2^m+1)=9p$ である。

(2)より、$2^m-1$ と $2^m+1$ は互いに素である。またこの2つの因数の差は2である。積 $9p$ のうち、3の因子2つは同じ方の因数に入らなければならない。したがって、どちらか一方の因数が9である。

もし $2^m-1=9$ なら $2^m=10$ となり不可能である。したがって $2^m+1=9$ でなければならない。このとき $2^m=8$ より $m=3$ である。よって $p=2m+1=7$ である。実際、$2^{7-1}-1=64-1=63=7\cdot 3^2$ であるから条件を満たす。

したがって求める組は $\boxed{(p,q)=(7,3)}$ である。