問題
袋の中に最初に赤玉2個と青玉1個が入っている。次の操作を繰り返し行う。
（操作） 袋から1個の玉を取り出し，それが赤玉ならば代わりに青玉1個を袋に入れ，青玉ならば代わりに赤玉1個を袋に入れる。袋に入っている3個の玉がすべて青玉になるとき，硬貨を1枚もらう。
(1) 2回目の操作で硬貨をもらう確率を求めよ。
(2) 奇数回目の操作で硬貨をもらうことはないことを示せ。
(3) 8回目の操作ではじめて硬貨をもらう確率を求めよ。
(4) 8回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど1枚である確率を求めよ。
方針
赤玉数は1回ごとに1だけ増減するため、偶奇でまず (2) が分かる。長い回数は1回ごとではなく2回を1組にすると、偶数回後の赤玉数は0または2だけになり、2状態の遷移で処理できる。赤玉2個から2回で赤玉0個になる確率は 、赤玉2個に戻る確率は 。赤玉0個から2回で赤玉0個に戻る確率は 、赤玉2個になる確率は 。この2回遷移で、初到達と硬貨1枚の確率を数える。
解答
(1)
最初は赤玉2個、青玉1個である。2回目の操作で硬貨をもらうには、1回目と2回目に続けて赤玉を取り出し、操作後に赤玉が0個になればよい。
1回目に赤玉を取り出す確率は である。この後、赤玉1個、青玉2個になるので、2回目に赤玉を取り出す確率は である。したがって求める確率は である。
(2)
赤玉の個数は、赤玉を取り出せば1減り、青玉を取り出せば1増える。したがって1回の操作ごとに赤玉の個数の偶奇は必ず変わる。
最初の赤玉の個数は2個で偶数である。よって奇数回目の操作の直後には、赤玉の個数は奇数である。硬貨をもらうのは赤玉の個数が0個、すなわち偶数になったときであるから、奇数回目の操作で硬貨をもらうことはない。
(3)
2回の操作を1組として見る。偶数回目の直後、赤玉数は0または2である。
赤玉2個の状態から2回操作すると、赤玉を2回続けて引いたときに赤玉0個となり、硬貨を1枚もらう。この確率は である。それ以外では赤玉2個に戻るので、その確率は である。
8回目ではじめて硬貨をもらうには、最初の3組、すなわち6回目までは赤玉2個に戻り続け、最後の4組目で赤玉0個になればよい。したがって確率は である。
(4)
同じ2回遷移を用いる。赤玉0個の状態から2回操作すると、1回目は必ず青玉を取り出して赤玉1個になる。2回目に赤玉を取り出せば再び赤玉0個となり、硬貨を1枚もらう。この確率は である。2回目に青玉を取り出せば赤玉2個となり、硬貨はもらわない。この確率は である。
4組、すなわち8回の操作で硬貨がちょうど1枚になる場合を、どの組でただ1枚の硬貨をもらうかで分ける。
1組目で硬貨をもらう場合は となる必要があるので、確率は である。
2組目で硬貨をもらう場合は であり、確率は である。
3組目で硬貨をもらう場合は であり、確率は である。
4組目で硬貨をもらう場合は、それまで硬貨をもらわず赤玉2個に戻り続け、最後に赤玉0個になればよいので、確率は である。
したがって求める確率は
である。計算すると
である。