九州大学 2015年度理系数学前期第2問解答・解説

問題

以下の問いに答えよ。

(1) 関数 $y = \frac{1}{x ( lo g x ) ^{2}}$ は $x > 1$ において単調に減少することを示せ。

(2) 不定積分 $\int \frac{1}{x ( lo g x ) ^{2}}$ を求めよ。

(3) $n$ を3以上の整数とするとき，不等式

k = 3 \sum n \frac{1}{k ( lo g k ) ^{2}} < \frac{1}{lo g 2}

が成り立つことを示せ。

出典：九州大学 2015年度前期日程第2次学力試験理系前期第2問

方針

(1) は微分して分子の符号を見る。(2) は $u = lo g x$ と置換すれば $u^{- 2}$ の積分になる。(3) は (1) の単調減少性から、各項を左隣の区間の積分で上から評価する。 $k ≧ 3$ では $x \in [k - 1, k]$ に対して $f (x) > f (k)$ なので、和が $2$ から $n$ までの積分で押さえられる。

解答

(1)

$f (x) = \frac{1}{x ( l o g x ) ^{2}}$ とおく。 $x > 1$ では $lo g x > 0$ である。積の形を使って $f (x) = x^{- 1} (lo g x)^{- 2}$ と見ると、

f^{'} (x) = - x^{- 2} (lo g x)^{- 2} + x^{- 1} \cdot (- 2) (lo g x)^{- 3} \cdot \frac{1}{x} = - \frac{1}{x ^{2} ( lo g x ) ^{2}} - \frac{2}{x ^{2} ( lo g x ) ^{3}} = - \frac{lo g x + 2}{x ^{2} ( lo g x ) ^{3}}

である。 $x > 1$ では分母は正で、 $lo g x + 2 > 0$ であるから $f^{'} (x) < 0$ である。したがって $f (x)$ は $x > 1$ において単調に減少する。

(2)

$u = lo g x$ とおくと $d u = \frac{1}{x} d x$ である。したがって $\int \frac{1}{x ( l o g x ) ^{2}} d x = \int u^{- 2} d u = - u^{- 1} + C$ である。よって $\int \frac{1}{x ( lo g x ) ^{2}} d x = - \frac{1}{lo g x} + C$ である。

(3)

(1)より、関数 $f (x) = 1/ {x (lo g x)^{2}}$ は $x > 1$ で単調に減少する。したがって $k ≧ 3$ に対して、 $k - 1 ≦ x ≦ k$ なら $f (x) ≧ f (k)$ である。しかも区間の内部では厳密に大きいので、 $f (k) < \int_{k - 1}^{k} f (x) d x$ が成り立つ。すなわち $\frac{1}{k ( l o g k ) ^{2}} < \int_{k - 1}^{k} \frac{d x}{x ( l o g x ) ^{2}}$ である。

これを $k = 3, 4, \dots, n$ について足し合わせると $\sum_{k = 3}^{n} \frac{1}{k ( l o g k ) ^{2}} < \int_{2}^{n} \frac{d x}{x ( l o g x ) ^{2}}$ である。(2)より右辺は $[- \frac{1}{l o g x}]_{2}^{n} = \frac{1}{l o g 2} - \frac{1}{l o g n}$ である。 $n ≧ 3$ なので $lo g n > 0$ であり、 $\frac{1}{l o g 2} - \frac{1}{l o g n} < \frac{1}{l o g 2}$ である。したがって $k = 3 \sum n \frac{1}{k ( lo g k ) ^{2}} < \frac{1}{lo g 2}$ が示された。

九州大学 2015年度理系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2015年度
理系数学前期第2問