九州大学 2015年度
理系数学 前期 第3問

解答

(1)

$x=k$ で切った断面を考える。球 $x^2+y^2+z^2\leqq 1$ において $x=k$ とすると、$yz$ 平面内では $y^2+z^2\leqq 1-k^2$ である。ここで $R=\sqrt{1-k^2}$ とおく。

光線はベクトル $0,\sqrt{3},-1)$ に平行なので、断面では方向 $\sqrt{3},-1)$ に平行である。球面上の点 $k,y,z)$ からこの方向に進んで $xy$ 平面 $z=0$ に到達すると、必要な移動量は $z$ であり、到達点の $y$ 座標は $y+\sqrt{3}z$ である。

上半球を考えているので、断面では $y^2+z^2\leqq R^2,z\geqq 0$ である。この範囲で $y+\sqrt{3}z$ の最小値は $(-R,0)$ での $-R$ であり、最大値は方向 $1,\sqrt{3})$ に半径を取った点での $R\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=2R$ である。したがって、$xy$ 平面上の直線 $x=k$ にできる影は $-R\leqq y\leqq 2R$ である。

一方、$xy$ 平面上で球の内部にあたる部分は $y^2\leqq R^2$ である。球の外で光が当たらない部分は、影のうち球の外側、すなわち正の $y$ 側で $y>R$ となる部分である。よって求める範囲は $\boxed{\sqrt{1-k^2}<y\leqq 2\sqrt{1-k^2}}$ である。

(2)

(1)より、固定した $x$ における球の外の影の長さは $2\sqrt{1-x^2}-\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-x^2}$ である。したがって面積 $S$ は $S={\int }_{-1}^1\sqrt{1-x^2}dx$ である。これは半径1の半円の面積なので $\boxed{S=\frac{\pi }{2}}$ である。

(3)

再び $x$ を固定し、$R=\sqrt{1-x^2}$ とおく。$yz$ 断面で考える。影の外側の境界は、半円 $y^2+z^2=R^2$ に方向 $\sqrt{3},-1)$ と平行に引いた接線である。この接線の法線方向は $1,\sqrt{3})$ なので、接線は $y+\sqrt{3}z=2R$ である。

一方、高さ $z$ における球の正の $y$ 側の境界は $y=\sqrt{R^2-z^2}$ である。したがって球の外で光が当たらない部分の断面の長さは $(2R-\sqrt{3}z)-\sqrt{R^2-z^2}$ である。この長さが正である範囲は、2つの境界が交わるまでであり、$2R-\sqrt{3}z=\sqrt{R^2-z^2}$ を解くと $z=0,z=\frac{\sqrt{3}}{2}R$ である。よって必要な範囲は $0\leqq z\leqq \frac{\sqrt{3}}{2}R$ である。

したがって体積 $V$ は

である。内側の積分を計算する。

である。また、$z=R\sin \theta$ とおくと

である。よって内側の積分は

である。

ここで $R^2=1-x^2$ なので

である。