問題
以下の問いに答えよ。
(1) が正の偶数のとき，は3の倍数であることを示せ。
(2) を素数とし，を0以上の整数とする。を満たすの組をすべて求めよ。
出典：九州大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第4問
方針
(1) は と書き、 を用いる。(2) は を別に処理し、 が許されていることを落とさない。 が奇素数なら は正の偶数なので (1) から左辺は3の倍数になる。右辺 が3の倍数になるには、 かつ が必要である。最後に を元の式へ代入し、 を一意に決める。候補を出したあと実際に成り立つことまで確認する。
解答
(1)
は正の偶数であるから、ある正の整数 を用いて と書ける。ここで である。したがって である。よって となる。つまり は3の倍数である。
(2)
まず の場合を調べる。このとき である。一方、右辺は であるから、方程式は となる。 は0以上の整数なので、これは のときに限り成り立つ。したがって は解である。
次に が奇素数である場合を考える。このとき は正の偶数である。したがって (1) より は3の倍数である。よって、等式 が成り立つなら、右辺 も3の倍数でなければならない。
ここで なら であり、3の倍数ではない。したがって奇素数の場合には である。 のもとで が3の倍数になるためには、素数 自身が3でなければならない。よって が必要である。
実際に を代入すると であるから、 を得る。したがって である。
以上より、条件を満たす組は である。実際、 では 、 では となり、どちらも条件を満たす。