九州大学 2015年度
文系数学 前期 第3問

解答

赤玉の個数を $r$ とする。袋には常に3個の玉が入っているので、赤玉が $r$ 個のとき、次の操作で

である。ただし、操作後に $r=0$ となったとき硬貨を1枚もらう。

赤玉数と硬貨の枚数を $(r,c)$ で表す。最初は $(2,0)$ である。1回目の操作後は $(1,0):\frac{2}{3},(3,0):\frac{1}{3}$ である。

2回目の操作後は

である。

3回目の操作後は、$(0,1)$ からは必ず青玉を引いて $(1,1)$ へ移り、$(2,0)$ からは赤を引けば $(1,0)$、青を引けば $(3,0)$ へ移る。したがって

である。

4回目の操作後に硬貨の総数が1枚になる場合を集める。$(1,1)$ から赤を引くと $(0,2)$ になって硬貨は2枚になるので、硬貨1枚の場合には青を引く必要があり、その確率は $\frac{2}{9}\cdot \frac{2}{3}=\frac{4}{27}$ である。また $(1,0)$ から赤を引くと $(0,1)$ になり、確率は $\frac{14}{27}\cdot \frac{1}{3}=\frac{14}{81}$ である。したがって硬貨の総数が1枚である確率は $\frac{4}{27}+\frac{14}{81}=\frac{12+14}{81}=\boxed{\frac{26}{81}}$ である。

硬貨の総数が2枚になるには、3回目の時点で $(1,1)$ にあり、4回目に赤玉を引いて再びすべて青玉になる必要がある。その確率は $\frac{2}{9}\cdot \frac{1}{3}=\boxed{\frac{2}{27}}$ である。

別解。2回を1組にして見ると、偶数回後の赤玉数は $0$ または $2$ だけである。赤玉2個の状態から2回操作すると、2回目に硬貨をもらって赤玉0個になる確率は $\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{9}$ であり、赤玉2個に戻る確率は $7/9$ である。また赤玉0個の状態から2回操作すると、赤玉0個に戻って硬貨を1枚もらう確率は $1/3$、赤玉2個になる確率は $2/3$ である。

4回後に硬貨2枚となるのは $2\to 0\to 0$ の場合だけなので $\frac{2}{9}\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{27}$ である。硬貨1枚となるのは $2\to 0\to 2$ または $2\to 2\to 0$ の場合であり、

となる。