問題
座標平面上の2つの放物線
を考える。ただし，は実数とする。
(1) とが異なる2点で交わるためのに関する条件を求めよ。
以下，が(1)の条件を満たすとし，とで囲まれる部分の面積が9であるとする。
(2) をを用いて表せ。
(3) がすべての実数値をとって変化するとき，放物線の頂点が描く軌跡を座標平面上に図示せよ。
方針
交点は2つの放物線の方程式を等置して得る2次方程式で判定する。異なる2点で交わる条件は判別式が正であること。面積は、上側と下側の差が根の間で下に凸の2次式の反対になるため、交点の具体的な位置ではなく2根の間隔だけで表せる。面積9から判別式の値を固定し、 を で表す。最後は放物線 を平方完成して頂点座標を で表し、 とおいて を消去する。軌跡では が全実数を動くので、得られた放物線全体が対象になることも確認する。
解答
(1)
交点の 座標は を満たす。すなわち である。2つの放物線が異なる2点で交わるためには、この2次方程式が異なる2つの実数解をもてばよい。判別式は であるから、求める条件は である。
(2)
以下、(1)の条件を満たすとする。交点の 座標を とし、 とする。判別式を とおくと、方程式 の2解の差は である。
2つの放物線の差を取ると である。これは で0になり、 では正である。したがって と書ける。囲まれる部分の面積 は
である。ここに を代入すると である。
面積が9であるから であり、 となる。 なので である。よって より である。
(3)
放物線 の頂点を求める。平方完成すると であるから、頂点は である。
(2)より だから、頂点を とおくと である。 を代入して を得る。
逆に、任意の実数 に対して とすれば対応する頂点が得られる。したがって軌跡は である。図示すると、頂点 をもち、上に開く放物線全体である。