九州大学 2015年度文系数学前期第2問解答・解説

問題

1辺の長さが1である正四面体 $O A B C$ を考える。辺 $O A$ の中点を $P$ ，辺 $O B$ を $2 : 1$ に内分する点を $Q$ ，辺 $O C$ を $1 : 3$ に内分する点を $R$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) 線分 $P Q$ の長さと線分 $P R$ の長さを求めよ。

(2) $P Q$ と $P R$ の内積 $P Q \cdot P R$ を求めよ。

(3) 三角形 $P QR$ の面積を求めよ。

出典：九州大学 2015年度前期日程第2次学力試験文系前期第2問

方針

正四面体では、同じ頂点 $O$ から出る3本の辺ベクトルの長さが1で、互いのなす角が $6 0^{\circ}$ である。したがって内積はすべて $1/2$ になる。 $P, Q, R$ を $O A, O B, O C$ の係数で表し、 $P Q, P R$ の長さと内積を直接計算する。面積は $\frac{1}{2} ∣ P Q ∣∣ P R ∣ sin ∠ QP R$ を、内積を使った式に直して求める。

解答

O A = a, O B = b, O C = c

とおく。正四面体の一辺の長さは1なので $∣ a ∣ = ∣ b ∣ = ∣ c ∣ = 1$ である。また、 $∠ A O B = ∠ B O C = ∠ C O A = 6 0^{\circ}$ であるから

a \cdot b = b \cdot c = c \cdot a = 1 \cdot 1 \cdot cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}

である。

点 $P$ は $O A$ の中点であるから $O P = \frac{1}{2} a$ である。点 $Q$ は $O B$ を $2 : 1$ に内分するので $O Q = \frac{2}{3} b$ である。点 $R$ は $O C$ を $1 : 3$ に内分するので $O R = \frac{1}{4} c$ である。

(1)

$P Q = \frac{2}{3} b - \frac{1}{2} a$ である。よって

P Q^{2} = \frac{2}{3} b - \frac{1}{2} a^{2} = \frac{4}{9} ∣ b ∣^{2} + \frac{1}{4} ∣ a ∣^{2} - 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} (a \cdot b) = \frac{4}{9} + \frac{1}{4} - \frac{1}{3} = \frac{13}{36}

である。したがって $P Q = \frac{13}{6}$ である。

同様に $P R = \frac{1}{4} c - \frac{1}{2} a$ だから

P R^{2} = \frac{1}{4} c - \frac{1}{2} a^{2} = \frac{1}{16} + \frac{1}{4} - 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} (a \cdot c) = \frac{1}{16} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{3}{16}

である。よって $P R = \frac{3}{4}$ である。

(2)

P Q \cdot P R = (\frac{2}{3} b - \frac{1}{2} a) \cdot (\frac{1}{4} c - \frac{1}{2} a) = \frac{1}{6} (b \cdot c) - \frac{1}{3} (b \cdot a) - \frac{1}{8} (a \cdot c) + \frac{1}{4} ∣ a ∣^{2} = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{1}{12} - \frac{1}{6} - \frac{1}{16} + \frac{1}{4} = \frac{5}{48}

である。したがって $P Q \cdot P R = \frac{5}{48}$ である。

(3)

三角形 $P QR$ の面積を $S$ とする。2辺 $P Q, P R$ とその内積から

S = \frac{1}{2} P Q^{2} P R^{2} - (P Q \cdot P R)^{2}

である。ここに (1), (2) の値を代入して

S = \frac{1}{2} \frac{13}{36} \cdot \frac{3}{16} - (\frac{5}{48})^{2} = \frac{1}{2} \frac{13}{192} - \frac{25}{2304} = \frac{1}{2} \frac{156 - 25}{2304} = \frac{1}{2} \cdot \frac{131}{48} = \frac{131}{96}

である。

九州大学 2015年度文系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2015年度
文系数学前期第2問