問題
原点を中心とし，点を通る円をとする。点で円に内接する円が，点で軸に接しているとき，以下の問いに答えよ。
(1) 円の中心の座標と半径を求めよ。
(2) 点を通り軸に平行な直線をとする。円の短い方の弧，円の短い方の弧，および線分で囲まれた図形をのまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ。
出典：九州大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第4問
方針
円 は単位円で、円 は点 で内接するので、中心 は半径 上にある。 と置き、 軸に接する半径と内接による半径を等しくして を求める。(2)は回転軸 を中心線とし、外側半径を円 の上弧から、内側半径を円 の上弧から読み取って、ワッシャー法で体積を積分する。
解答
(1)
円 は原点中心で点 を通るので、半径1の円である。点 は円 上にあり、円 は で内接しているから、 の中心 は直線 上にある。
そこで とおく。円 は 軸に接しているので、その半径は中心の 座標に等しく である。一方、円 の内側に内接するので、 より でもある。したがって より である。よって
である。
(2)
回転軸 は である。 で、外側の境界は円 の上側 であり、内側の境界は円 の上側 である。したがって、回転軸からの外側半径は であり、内側半径は である。
よって求める体積 は
である。
内側半径の二乗は である。外側半径の二乗を展開し、円弧の積分 を用いて整理すると である。