問題
一辺の長さが1の正方形を底面とし，点を頂点とする四角錐がある。ただし，点は内積に関する条件，およびをみたす。辺をに内分する点をとし，辺の中点をとする。さらに，点と直線上の点を通る直線は，平面に垂直であるとする。このとき，長さの比，および線分の長さを求めよ。
出典：九州大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第2問
方針
、、 とおき、与えられた内積条件をそのまま使う。点 は直線 上なので と置く。 を内分点として表し、 が平面 に垂直である条件を 、 として、 と を連立で求める。
解答
とおく。正方形の一辺は1なので である。また条件より である。
点 は を に内分するので である。点 は の中点だから である。
点 は直線 上にあるので、実数 を用いて とおく。 の位置ベクトルは なので である。したがって である。 とおく。 が平面 に垂直であるから
である。まず を計算すると である。次に を計算すると である。
後者から であり、これを前者に代入すると を得る。したがって であり、 である。
また なので、 は から とは反対側にある。よって であるから である。