九州大学 2013年度理系数学前期第1問解答・解説

問題

$a > 1$ とし，2つの曲線

y = x (x ≧ 0),

y = \frac{a ^{3}}{x} (x > 0)

を順に $C_{1}$ ， $C_{2}$ とする。また， $C_{1}$ と $C_{2}$ の交点 $P$ における $C_{1}$ の接線を $l_{1}$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) 曲線 $C_{1}$ と $y$ 軸および直線 $l_{1}$ で囲まれた部分の面積を $a$ を用いて表せ。

(2) 点 $P$ における $C_{2}$ の接線と直線 $l_{1}$ のなす角を $θ (a)$ とする $(0 < θ (a) < \frac{π}{2})$ 。このとき， $a \to \infty lim a sin θ (a)$ を求めよ。

出典：九州大学 2013年度前期日程第2次学力試験理系前期第1問

方針

交点 $P$ は $x = a^{3} / x$ から求める。 $P$ における $C_{1}$ の接線を出し、 $y$ 軸から $x = a^{2}$ まで、接線と $C_{1}$ の差を積分する。(2)は2本の接線の傾きを求め、直線のなす角の正弦を、方向ベクトル $(1, m_{1}), (1, m_{2})$ の面積公式で表す。最後に $a$ を掛けて極限を取る。

解答

(1)

交点 $P$ では $x = \frac{a ^{3}}{x}$ である。 $x > 0$ より $x^{3/2} = a^{3}$ なので $x = a^{2}, y = a$ である。したがって $P = (a^{2}, a)$ である。 $C_{1} : y = x$ の導関数は $y^{'} = \frac{1}{2 x}$ なので、点 $P$ における接線 $l_{1}$ の傾きは $1/ (2 a)$ である。よって $l_{1} : y - a = \frac{1}{2 a} (x - a^{2})$ すなわち $y = \frac{x}{2 a} + \frac{a}{2}$ である。

求める面積は、 $0 ≦ x ≦ a^{2}$ で接線が曲線 $C_{1}$ の上にある部分の面積である。したがって $S = \int_{0}^{a^{2}} (\frac{x}{2 a} + \frac{a}{2} - x) d x$ である。計算すると $S = [\frac{x ^{2}}{4 a} + \frac{a}{2} x - \frac{2}{3} x^{3/2}]_{0}^{a^{2}}$ $= \frac{a ^{3}}{4} + \frac{a ^{3}}{2} - \frac{2 a ^{3}}{3} = \frac{a ^{3}}{12}$ である。

(2)

$C_{2} : y = a^{3} / x$ の導関数は $y^{'} = - \frac{a ^{3}}{x ^{2}}$ である。 $x = a^{2}$ における傾きは $- \frac{1}{a}$ である。したがって2本の接線の傾きは $m_{1} = \frac{1}{2 a}, m_{2} = - \frac{1}{a}$ である。

傾き $m_{1}, m_{2}$ の2直線のなす角 $θ$ について、方向ベクトルを $(1, m_{1}), (1, m_{2})$ と考えると $sin θ = \frac{∣ m _{1} - m _{2} ∣}{1 + m _{1}^{2} 1 + m _{2}^{2}}$ である。よって

sin θ (a) = \frac{\frac{3}{2 a}}{1 + \frac{1}{4 a ^{2}} 1 + \frac{1}{a ^{2}}}

である。したがって

a sin θ (a) = \frac{\frac{3}{2}}{1 + \frac{1}{4 a ^{2}} 1 + \frac{1}{a ^{2}}}

であり、 $a \to \infty$ とすると $a \to \infty lim a sin θ (a) = \frac{3}{2}$ である。

九州大学 2013年度理系数学 前期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 2013年度
理系数学前期第1問