九州大学 2012年度
理系数学 前期 第4問

解答

(1)

2次方程式 $x^2+px+q=0$ の解が $\alpha ,\beta$ であるから、解と係数の関係より $\alpha +\beta =-p,\alpha \beta =q$ である。 $s_n={\alpha }^n+{\beta }^n$ とおく。$\alpha ,\beta$ はともに $r^2+pr+q=0$ をみたすので $r^{n+2}+p{r}^{n+1}+q{r}^n=0$ が成り立つ。$r=\alpha ,\beta$ について足し合わせると $s_{n+2}+p{s}_{n+1}+q{s}_n=0$ すなわち $s_{n+2}=-p{s}_{n+1}-q{s}_n$ である。

ここで $s_0=2,s_1=\alpha +\beta =-p$ は整数であり、$p,q$ も整数である。したがって漸化式により $s_n$ はすべて整数である。

また

である。よって $q^n$、$s_n$ が整数なので、特に $a_1,a_2,a_3$ はいずれも整数である。

(2)

条件 $(|\alpha |-1)(|\beta |-1)>0$ は、$|\alpha |,|\beta |$ がともに1より大きい、またはともに1より小さいことを意味する。

まず $|\alpha |<1,|\beta |<1$ のとき、${\alpha }^n\to 0$、${\beta }^n\to 0$ であるから $a_n=({\alpha }^n-1)({\beta }^n-1)\to 1$ である。したがって $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\to 1$ であり、極限値は整数である。

次に $|\alpha |>1,|\beta |>1$ のときを考える。このとき $|q|=|\alpha \beta |>|\alpha |,|q|>|\beta |$ である。したがって $a_n=q^n-({\alpha }^n+{\beta }^n)+1$ では $q^n$ が支配的であり、$\frac{a_{n+1}}{a_n}\to q$ となる。よって $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\to |q|$ である。$q$ は整数なので、$|q|$ も整数である。

以上より、条件のもとで極限値は整数である。

(3)

極限値 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ は整数ではない。したがって (2) の条件は成り立たず、$|\alpha |,|\beta |$ の一方が1より大きく、他方が1より小さい場合である。

たとえば $|\alpha |>1$、$|\beta |<1$ とする。このとき $|\alpha \beta |<|\alpha |$ であるから、$a_n=q^n-({\alpha }^n+{\beta }^n)+1$ では ${\alpha }^n$ が支配的である。したがって $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\to |\alpha |$ である。同様に、$|\beta |>1$、$|\alpha |<1$ のときは極限値は $|\beta |$ である。

よって、絶対値が1より大きい方の根の絶対値が $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ でなければならない。つまり根の一つは $\phi \text{または}-\phi$ である。

$\phi$ は ${\phi }^2-\phi -1=0$ をみたす。$p,q$ は整数で、方程式は最高次係数1の2次方程式だから、無理数根 $\phi$ をもてば、もう一つの根はその共役 $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ である。したがって方程式は $x^2-x-1=0$ であり、$(p,q)=(-1,-1)$ である。

同様に、根の一つが $-\phi$ のときは、もう一つの根は $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ であり、方程式は $x^2+x-1=0$ である。したがって $(p,q)=(1,-1)$ である。

実際、これら2つの場合はいずれも根の一方の絶対値が $\phi$、もう一方の絶対値が $1/\phi <1$ であり、条件 $|\alpha |\ne 1$、$|\beta |\ne 1$ もみたす。よって求める組は $(p,q)=(-1,-1),(1,-1)$ である。