九州大学 2012年度
理系数学 前期 第3問

解答

(1)

$u=x+1$ とおく。すると $x=u-1$ であり、$x^2+|x+1|+n-1=(u-1{)}^2+|u|+n-1=u^2-2u+|u|+n$ である。方程式は $a\{u^2-2u+|u|+n\}=\sqrt{n}u$ となる。

まず $u\geqq 0$ の場合を考える。このとき $|u|=u$ なので $a(u^2-u+n)=\sqrt{n}u$ である。分母 $u^2-u+n$ は $n\geqq 1$ で常に正であるから、$a=\frac{\sqrt{n}u}{u^2-u+n}(u\geqq 0)$ と表せる。

右辺を $F(u)$ とおくと、

である。したがって $F(u)$ は $0\leqq u\leqq \sqrt{n}$ で増加し、$u\geqq \sqrt{n}$ で減少する。さらに $F(0)=0$、$u\to \infty$ で $F(u)\to 0$ である。最大値は $u=\sqrt{n}$ のとき $F(\sqrt{n})=\frac{n}{2n-\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{2\sqrt{n}-1}$ である。よって $u\geqq 0$ から得られる $a$ の範囲は $0\leqq a\leqq \frac{\sqrt{n}}{2\sqrt{n}-1}$ である。

次に $u<0$ の場合を考える。$v=-u>0$ とおくと、$|u|=v$ であり、方程式は $a(v^2+3v+n)=-\sqrt{n}v$ となる。したがって $a=-\frac{\sqrt{n}v}{v^2+3v+n}(v>0)$ である。

正の関数 $G(v)=\frac{\sqrt{n}v}{v^2+3v+n}$ を考えると、$G^{\prime }(v)=\sqrt{n}\frac{n-v^2}{(v^2+3v+n{)}^2}$ である。よって $G(v)$ は $v=\sqrt{n}$ で最大となり、その最大値は $G(\sqrt{n})=\frac{n}{2n+3\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{2\sqrt{n}+3}$ である。$v>0$ であるから、$a$ は負の値を取り、0には近づくがこの場合だけでは0を取らない。したがって $u<0$ から得られる範囲は $-\frac{\sqrt{n}}{2\sqrt{n}+3}\leqq a<0$ である。

2つの場合を合わせ、$u=0$ の場合に $a=0$ も含まれるので、求める範囲は $-\frac{\sqrt{n}}{2\sqrt{n}+3}\leqq a\leqq \frac{\sqrt{n}}{2\sqrt{n}-1}$ である。

(2)

すべての自然数 $n$ に対して実数解を持つには、(1)で得たすべての区間に $a$ が含まれればよい。つまり $-\frac{\sqrt{n}}{2\sqrt{n}+3}\leqq a\leqq \frac{\sqrt{n}}{2\sqrt{n}-1}$ がすべての自然数 $n$ で成り立つ必要がある。

左端について、$t=\sqrt{n}\geqq 1$ とおくと $\frac{t}{2t+3}$ は $t$ が大きくなるほど増加する。したがって $-\frac{\sqrt{n}}{2\sqrt{n}+3}$ は $n=1$ のときが最大であり、最大値は $-\frac{1}{5}$ である。よってすべての $n$ で左側の条件をみたすには $a\geqq -\frac{1}{5}$ が必要十分である。

右端について、$\frac{t}{2t-1}(t\geqq 1)$ は $t$ が大きくなるほど減少し、${\lim }_{t\to \infty }\frac{t}{2t-1}=\frac{1}{2}$ である。各 $n$ では右端は $1/2$ より大きいが、すべての $n$ で $a$ が右端以下であるためには $a\leqq \frac{1}{2}$ が必要十分である。

以上より、求める $a$ の範囲は $-\frac{1}{5}\leqq a\leqq \frac{1}{2}$ である。