九州大学 2012年度理系数学前期第1問解答・解説

問題

円 $x^{2} + (y - 1)^{2} = 4$ で囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ。

出典：九州大学 2012年度前期日程第2次学力試験理系前期第1問

方針

固定した $x$ における円の縦方向の断面を回転して、断面積を積分する。円は中心 $(0, 1)$ 、半径2なので、 $r (x) = 4 - x^{2}$ とおくと $y$ の範囲は $1 - r (x) ≦ y ≦ 1 + r (x)$ である。この区間が $x$ 軸をまたぐ $∣ x ∣ ≦ 3$ では円板、またがない $3 < ∣ x ∣ ≦ 2$ ではワッシャーになる。最後は偶関数性で積分を整理し、円の弓形積分を計算する。

解答

円 $x^{2} + (y - 1)^{2} = 4$ は中心 $(0, 1)$ 、半径2の円である。固定した $x$ に対して $r (x) = 4 - x^{2}$ とおくと、円の内部での $y$ の範囲は $1 - r (x) ≦ y ≦ 1 + r (x)$ である。

この縦線分を $x$ 軸のまわりに回転する。 $x$ 軸をまたぐのは $1 - r (x) ≦ 0$ すなわち $r (x) ≧ 1$ のときである。これは $4 - x^{2} ≧ 1$ より $∣ x ∣ ≦ 3$ である。

したがって、 $∣ x ∣ ≦ 3$ では断面は半径 $1 + r (x)$ の円板であり、断面積は $π (1 + r (x))^{2}$ である。一方、 $3 < ∣ x ∣ ≦ 2$ では断面は外半径 $1 + r (x)$ 、内半径 $1 - r (x)$ のワッシャーなので、断面積は $π {(1 + r (x))^{2} - (1 - r (x))^{2}} = 4 π r (x)$ である。

よって求める体積Vは、対称性を用いて

V = π \int_{- 3}^{3} (1 + r (x))^{2} d x + 2 \int_{3}^{2} 4 π r (x) d x

である。

まず $\int_{- 3}^{3} (1 + r)^{2} d x = \int_{- 3}^{3} (1 + 2 r + r^{2}) d x$ であり、 $r^{2} = 4 - x^{2}$ だから

\int_{- 3}^{3} (1 + r)^{2} d x = \int_{- 3}^{3} (5 - x^{2}) d x + 2 \int_{- 3}^{3} 4 - x^{2} d x

である。ここで $\int_{- 3}^{3} (5 - x^{2}) d x = 83$ である。また

\int_{0}^{3} 4 - x^{2} d x = [\frac{x}{2} 4 - x^{2} + 2 arcsin \frac{x}{2}]_{0}^{3} = \frac{3}{2} + \frac{2 π}{3}

だから $\int_{- 3}^{3} 4 - x^{2} d x = 3 + \frac{4 π}{3}$ である。よって中央部分の積分は $83 + 2 (3 + \frac{4 π}{3}) = 103 + \frac{8 π}{3}$ である。

次に

\int_{3}^{2} 4 - x^{2} d x = [\frac{x}{2} 4 - x^{2} + 2 arcsin \frac{x}{2}]_{3}^{2} = π - (\frac{3}{2} + \frac{2 π}{3}) = \frac{π}{3} - \frac{3}{2}

である。

したがって

V = π (103 + \frac{8 π}{3}) + 8 π (\frac{π}{3} - \frac{3}{2})

であり、整理すると $V = 6 π 3 + \frac{16 π ^{2}}{3} = \frac{2 π}{3} (93 + 8 π)$ である。

九州大学 2012年度理系数学 前期 第1問

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理系数学前期第1問