問題
1から4までの数字が1つずつ書かれた4枚のカードがある。その4枚のカードを横一列に並べ，以下の操作を考える。
操作： 1から4までの数字が1つずつ書かれた4個の球が入っている袋から同時に2個の球を取り出す。球に書かれた数字がとならば，のカードとのカードを入れかえる。その後，2個の球は袋に戻す。
初めにカードを左から順にと並べ，上の操作を2回繰り返した後のカードについて，以下の問いに答えよ。
(1) カードが左から順にと並ぶ確率を求めよ。
(2) カードが左から順にと並ぶ確率を求めよ。
(3) 左端のカードの数字が1になる確率を求めよ。
(4) 左端のカードの数字の期待値を求めよ。
方針
1回の操作は4枚のうち2枚を選んで交換するので、各回6通り、2回では順序付きで36通りを数える。(1)(2)は目的の並びになる交換の組を直接数える。(3)はカード1の位置だけを追い、1回で同じ位置に残る確率と指定した別位置に移る確率から2回後の確率を出す。(4)はカード1以外のカードの対称性を使い、左端にある数字の分布から期待値を求める。
解答
(1)
1回の操作では、交換する2枚のカードを 通りから選ぶ。2回の操作は順序付きで考えるので、全体は 通りである。
2回後に元の並び に戻るには、1回目と2回目で同じ2枚を交換すればよい。1回目の選び方は6通りで、それぞれ2回目は同じ組に限られる。したがって有利な場合は6通りであり、確率は である。
(2)
並び は、もとの並びから見ると、カード1と4を入れかえ、同時にカード2と3を入れかえた状態である。したがって2回の操作では、交換 と交換 を1回ずつ行う必要がある。
この2つの交換の順序は の2通りである。よって確率は である。
(3)
カード1の位置だけを追う。1回の操作でカード1が同じ位置に残るのは、交換する2枚にカード1が含まれない場合である。カード1以外の3枚から2枚を選ぶので 通りあり、確率は である。また、カード1が指定した別の1つの位置へ移るには、その位置のカードとカード1を交換する必要があるので、確率は である。
2回後にカード1が左端にある場合は、1回ごとの位置の動きで考えると、左端に残り続ける場合と、いったん他の3位置へ移ってから左端へ戻る場合である。したがって
である。
(4)
(3)より、左端のカードが1である確率は である。カード2,3,4は初期位置が左端でないという点で対称なので、2回後に左端にある確率はそれぞれ等しい。したがってそれぞれ である。
よって左端のカードの数字の期待値は
である。