九州大学 2011年度
文系数学 第2問

解答

(1)

正接の倍角公式は $\tan 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }$ である。したがって $a_n=\tan {\theta }_n$ と表せるとき、与えられた漸化式は $a_{n+1}=\tan 2{\theta }_n$ を意味する。 $a_1=1/\sqrt{3}=\tan (\pi /6)$ であるから $a_n=\tan \left(2^{n-1}\frac{\pi }{6}\right)$ である。よって $a_{10}=\tan \left(2^9\frac{\pi }{6}\right)=\tan \frac{256\pi }{3}$ である。正接の周期は $\pi$ であり、$256\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ なので $a_{10}=\tan \frac{\pi }{3}=\boxed{\sqrt{3}}$ である。同様に $a_{11}=\tan \frac{512\pi }{3}$ であり、$512\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ だから $a_{11}=\tan \frac{2\pi }{3}=\boxed{-\sqrt{3}}$ である。

(2)

$x=\tan \frac{\pi }{12}$ とおく。$0<\pi /12<\pi /4$ より $0<x<1$ である。倍角公式から $\tan \frac{\pi }{6}=\frac{2x}{1-x^2}$ であり、$\tan (\pi /6)=1/\sqrt{3}$ なので $\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{2x}{1-x^2}$ である。整理すると $x^2+2\sqrt{3}x-1=0$ である。よって $x=-\sqrt{3}\pm 2$ であり、$x>0$ から $\boxed{\tan \frac{\pi }{12}=2-\sqrt{3}}$ である。

(3)

$a_n=\tan \left(2^{n-1}\frac{\pi }{7}\right)$ である。$a_k=a_1$ となるためには $\tan \left(2^{k-1}\frac{\pi }{7}\right)=\tan \frac{\pi }{7}$ であればよい。正接の周期は $\pi$ なので、これは $\left(2^{k-1}-1\right)\frac{\pi }{7}$ が $\pi$ の整数倍であることと同値である。したがって $2^{k-1}\equiv 1(\mathrm{mod}7)$ を満たす最小の $k\geqq 2$ を求めればよい。 $2^1\equiv 2,2^2\equiv 4,2^3\equiv 8\equiv 1(\mathrm{mod}7)$ であるから、最小は $k-1=3$ である。よって $\boxed{k=4}$ である。