問題
平面上に直角三角形があり，その斜辺の長さを2とする。また，点はをみたしているとする。このとき，以下の問いに答えよ。
(1) 辺の中点をとするとき，点は線分の中点となることを示せ。
(2) となることを示せ。
(3) をみたす点をとするとき，の値を求めよ。
出典：九州大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
位置ベクトルを とおき、条件 を と読む。(1)は の中点 の位置ベクトルから直ちに示す。(2)は直角三角形の斜辺の中点が3頂点から等距離にあることを使う。(3)は式を展開し、一次の項が で消えることを確認して だけを残す。
解答
(1)
とおく。条件 より である。 は辺 の中点なので である。したがって となる。よって は一直線上にあり、しかも であるから、点 は線分 の中点である。
(2)
三角形 は直角三角形で、斜辺 の長さは2である。斜辺の中点 は3頂点 から等距離にあるので である。
(1)より は の中点であるから である。ここで中線公式を点 、2点 とその中点 に対して用いると である。したがって である。
(3)
とおく。与えられた左辺を展開すると
条件より なので、一次の項は消える。また (2) と より である。したがって左辺は である。
これが に等しいので すなわち である。よって である。