九州大学 2011年度
文系数学 第1問

解答

(1)

直線 $y=x$ の傾きは $1$ であるから、これに垂直な直線 $PH$ の傾きは $-1$ である。点 $P(t,t^2)$ を通るので、$PH$ の方程式は $y-t^2=-(x-t)$ すなわち $y=t^2+t-x$ である。これと $y=x$ を連立すると $x=t^2+t-x$ より $x=\frac{t^2+t}{2}$ である。したがって $\boxed{H\left(\frac{t^2+t}{2},\frac{t^2+t}{2}\right)}$ である。

(2)

$P$ を通る $y$ 軸に平行な直線は $x=t$ である。これと $y=x$ との交点は $R=(t,t)$ である。よって $PR=t^2-t$ である。また

である。

三角形の面積は、$R$ を基準にした2つのベクトル

で作る平行四辺形の半分である。したがって

である。

(3)

$H$ の $x$ 座標を $u=\frac{t^2+t}{2}$ とおく。$t>1$ なので $u>t$ である。求める領域は、$1\leqq x\leqq t$ では上側が放物線 $y=x^2$、下側が直線 $y=x$ であり、$t\leqq x\leqq u$ では上側が線分 $PH$ の直線 $y=t^2+t-x$、下側が $y=x$ である。

よって $S_1={\int }_1^t(x^2-x)dx+{\int }_t^u(t^2+t-2x)dx$ である。第1項は

である。第2項は ${\int }_t^u(t^2+t-2x)dx={\left[(t^2+t)x-x^2\right]}_t^u$ であり、$u=(t^2+t)/2$ を代入して整理すると $\frac{(t^2-t{)}^2}{4}$ である。したがって

である。

(4)

放物線 $y=x^2$ と直線 $y=x$ は $x=0,1$ で交わり、$0\leqq x\leqq 1$ では $x\geqq x^2$ である。よって

である。 $S_1=S_2$ より $\frac{(t-1{)}^2(3t^2+4t+2)}{12}=\frac{1}{6}$ である。すなわち $(t-1{)}^2(3t^2+4t+2)=2$ である。左辺を展開して整理すると $3t^4-2t^3-3t^2=0$ すなわち $t^2(3t^2-2t-3)=0$ である。$t>1$ なので $t=0$ は不適で、$3t^2-2t-3=0$ を解けばよい。したがって $t=\frac{2\pm \sqrt{4+36}}{6}=\frac{1\pm \sqrt{10}}{3}$ であり、$t>1$ より $\boxed{t=\frac{1+\sqrt{10}}{3}}$ である。