九州大学 2010年度文系数学第4問解答・解説

問題

以下の問いに答えよ。答えだけでなく，必ず証明も記せ。

(1) 和 $1 + 2 + \dots + n$ を $n$ の多項式で表せ。

(2) 和 $1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2}$ を $n$ の多項式で表せ。

(3) 和 $1^{3} + 2^{3} + \dots + n^{3}$ を $n$ の多項式で表せ。

出典：九州大学 2010年度前期日程第2次学力試験文系第4問

方針

三つの和の公式を答えるだけでなく証明する問題なので，すべて数学的帰納法で統一して示す。各式について $n = 1$ を確認し， $n$ で成り立つと仮定して $n + 1$ の場合を整理する。特に三乗和では，仮定式に $(n + 1)^{3}$ を加えたあと，共通因数 $(n + 1)^{2}$ をくくって $(n + 2)^{2} /4$ に直すところまで書く。

解答

(1)

求める式は $1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ である。 $n = 1$ のとき，左辺は $1$ ，右辺も $1 \cdot 2/2 = 1$ であり成り立つ。

$n$ で成り立つと仮定すると，

1 + 2 + \dots + n + (n + 1) = \frac{n ( n + 1 )}{2} + (n + 1) = (n + 1) (\frac{n}{2} + 1) = \frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2}

である。これは $n + 1$ の場合の式であるから，数学的帰納法によりすべての正の整数 $n$ で成り立つ。

(2)

求める式は $1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}$ である。 $n = 1$ では両辺とも $1$ である。

$n$ で成り立つと仮定すると，

1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} + (n + 1)^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} + (n + 1)^{2} = (n + 1) {\frac{n ( 2 n + 1 )}{6} + n + 1} = (n + 1) \frac{2 n ^{2} + 7 n + 6}{6} = \frac{( n + 1 ) ( n + 2 ) ( 2 n + 3 )}{6}

である。これは $n + 1$ の場合の式である。よって数学的帰納法により成り立つ。

(3)

求める式は $1^{3} + 2^{3} + \dots + n^{3} = {\frac{n ( n + 1 )}{2}}^{2}$ である。 $n = 1$ では両辺とも $1$ である。

$n$ で成り立つと仮定すると，

1^{3} + 2^{3} + \dots + n^{3} + (n + 1)^{3} = {\frac{n ( n + 1 )}{2}}^{2} + (n + 1)^{3} = (n + 1)^{2} (\frac{n ^{2}}{4} + n + 1) = (n + 1)^{2} \frac{( n + 2 ) ^{2}}{4} = {\frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2}}^{2}

である。これは $n + 1$ の場合の式であるから，数学的帰納法によりすべての正の整数 $n$ で成り立つ。

九州大学 2010年度文系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2010年度
文系数学第4問