問題
次のような競技を考える。競技者がサイコロを振る。もし，出た目が気に入ればその目を得点とする。そうでなければ，もう1回サイコロを振って，2つの目の合計を得点とすることができる。ただし，合計が7以上になった場合は得点は0点とする。この取り決めによって，2回目を振ると得点が下がることもあることに注意しよう。次の問いに答えよ。
(1) 競技者が常にサイコロを2回振るとすると，得点の期待値はいくらか。
(2) 競技者が最初の目が6のときだけ2回目を振らないとすると，得点の期待値はいくらか。
(3) 得点の期待値を最大にするためには，競技者は最初の目がどの範囲にあるときに2回目を振るとよいか。
方針
この競技は最初の目を見てから選択できるので，最初の目ごとに「そのまま点を取る場合」と「もう一度振る場合の期待値」を比較する。(1)(2)では全事象を数え上げるが，合計が以上なら点になるため，有効なのはの組だけである。(3)では各に対する条件付き期待値を表にして，局所的に有利な選択を選べば全体の期待値も最大になる。
解答
(1)
1回目を，2回目をとする。常に2回振るとき，得点はなら，ならである。したがって有効な和は
である。全事象は通りだから，期待値は である。
(2)
最初の目がのときはそのまま点を取る。最初の目がのときは2回目を振るので，期待値は
である。内側の有効な合計を並べると，に対して であり，総和はである。よって である。
(3)
最初の目がのとき，2回目を振ると得点が正になるのはの場合だけである。したがって，2回目を振る場合の条件付き期待値は である。各について計算すると
である。
そのままにすれば得点はであるから，のときは振り直し，のときはそのままにするのがよい。表より であり，ではである。したがって期待値を最大にするには のがよい。
なお，を式で処理しても であり，は となる。整数の中では，やはりだけが該当する。