九州大学 2010年度
文系数学 第1問

解答

(1)

$AP=tc$であり，$\angle CAP=\angle CAB=A$であるから，三角形$ACP$に余弦定理を用いると $C{P}^2=C{A}^2+A{P}^2-2\cdot CA\cdot AP\cos A=b^2+t^2{c}^2-2btc\cos A$ である。一方，三角形$ABC$に余弦定理を用いれば $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ より $2bc\cos A=b^2+c^2-a^2$ である。これを代入して $C{P}^2=c^2{t}^2-(b^2+c^2-a^2)t+b^2$ を得る。

(2)

$CP=a$とすると，(1)より $c^2{t}^2-(b^2+c^2-a^2)t+b^2-a^2=0$ である。ここで$t=1$を代入すると $c^2-(b^2+c^2-a^2)+b^2-a^2=0$ だから，$t=1$は確かに解である。解と係数の関係より二つの解の積は $\frac{b^2-a^2}{c^2}$ であり，一方の解が$1$なので，もう一方の解は $\frac{b^2-a^2}{c^2}$ である。したがって $t=1,t=\frac{b^2-a^2}{c^2}$ である。ただし，二つの値が一致するときは点としては一つだけである。

(3)

辺$AB$上の点は$0\leqq AP\leqq AB$を満たすから，$0\leqq t\leqq 1$に対応する。(2)で得た$t=1$は点$B$を表し，これは常に辺$AB$上にある。したがって，条件を満たす点$P$が辺$AB$上にちょうど2つあるためには，もう一つの解が $0\leqq \frac{b^2-a^2}{c^2}<1$ を満たすことが必要十分である。$c^2>0$より，これは $b^2-a^2\geqq 0,b^2-a^2<c^2$ すなわち $b\geqq a,b^2<a^2+c^2$ である。

三角形では大きい辺に大きい角が向かい合うので，$b\geqq a$は $\angle B\geqq \angle A$ と同値である。また，余弦定理 $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$ より，$b^2<a^2+c^2$は$\cos B>0$，すなわち $\angle B<90^{\circ }$ と同値である。よって求める条件は $\boxed{\angle B\geqq \angle A,\angle B<90^{\circ }}$ である。

別解。$CP=a$を満たす点$P$は，中心$C$，半径$a$の円と直線$AB$の交点である。この円は$B$を通るので，直線$AB$とのもう一つの交点を$P^{\prime }$とすると，点$A$の円に関する冪から $AB\cdot A{P}^{\prime }=C{A}^2-a^2$ が成り立つ。すなわち $c\cdot tc=b^2-a^2$ であり，$t=(b^2-a^2)/c^2$が得られる。あとはこの点が$B$と異なって辺$AB$上にある条件として$0\leqq t<1$を課せば，同じく $\angle B\geqq \angle A,\angle B<90^{\circ }$ に至る。