問題
平面上に原点を中心とする半径1の円を描き，その上半分をとし，その両端を，とする。上の2点，をとなるようにとる。ただし，とする。このとき，次の問いに答えよ。
(1) とおくとき，弦の長さおよび点の座標をを用いて表せ。
(2) 点から軸におろした垂線をとしたとき，をを用いて表せ。
(3) とおく。条件をを用いて表せ。
(4) となるような点がただ一つあることを示せ。
出典：九州大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
上半円上の点は中心角で表すと弦の長さが扱いやすい。からの中心角はと分かり，等しい弦は中心角の差が等しいことを意味するのでの中心角をと決められる。最後はをの方程式に直し，が上半円上にあるための範囲で解の個数を調べる。
解答
(1)
は直径であり，は円周上の点だから である。三角形において，なので である。
また，から見たの方向は軸の正の向きとなす角がであるから である。よって を得る。
(2)
点の中心角は，点の中心角はである。弦の長さは対応する中心角の大きさで決まり，で，さらにだから，はから見てと反対側に同じ中心角だけ進んだ点である。したがっての中心角は であり， である。はから軸へ下ろした垂線の足なので，である。よって である。
(3)
とおくと である。また である。したがっては である。なので両辺をで割って を得る。
(4)
が上半円上にあるためにはである。したがって で調べればよい。
とおく。での解の個数を調べる。導関数は であるから，はで増加し，で減少する。
まずではは増加し， である。よってこの区間にの解がただ一つある。
次にでは，最小値は端点のどちらかで生じるので
である。したがってこの区間にはの解はない。以上より，となる点はただ一つである。