九州大学 2009年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

$O$ を原点とする $x y z$ 空間内の点 $A$ ， $B$ ， $C$ をそれぞれ $A (- 1, 2, 3)$ ， $B (0, 1, 2)$ ， $C (0, 1, 0)$ とし，2点 $A$ ， $B$ を通る直線を $l$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) 点 $P$ は直線 $l$ 上を動き，点 $Q$ は $y$ 軸上を動くものとする。このとき，2点 $P$ と $Q$ との距離の最小値を求めよ。また， $P$ と $Q$ との距離が最小となるときの $P$ と $Q$ をそれぞれ $P_{0}$ ， $Q_{0}$ とする。 $P_{0}$ と $Q_{0}$ の座標を求めよ。

(2) $P_{0}$ との距離が $s$ であるような直線 $l$ 上の点の一つを $S$ とする。点 $S$ から三角形 $P_{0} Q_{0} C$ を含む平面に下ろした垂線とその平面との交点を $R$ とするとき，線分 $S R$ の長さを求めよ。

(3) $y$ 軸上に長さ $k$ の線分 $D E$ があり，直線 $l$ 上に長さ $m$ の線分 $F G$ がある。四面体 $D E F G$ の体積を求めよ。

出典：九州大学 2009年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

(1)は直線l上の点とy軸上の点をそれぞれパラメータ表示し，距離の二乗を最小化する。最小時には2直線を結ぶベクトルが両方の方向に垂直になることも確認できる。(2)は三角形 $P_{0} Q_{0} C$ の平面方程式を求め，直線l上で $P_{0} S = s$ だけ進んだ点からその平面への距離を計算する。(3)は2本の線分の方向，2直線間の距離，方向ベクトルのなす角を使って四面体体積を求める。

解答

(1)

直線lはAとBを通るので，方向ベクトルは $A B = B - A = (1, - 1, - 1)$ である。したがって直線l上の点Pは，実数 $u$ を用いて $P = A + u (1, - 1, - 1) = (- 1 + u, 2 - u, 3 - u)$ と表せる。またQはy軸上にあるので $Q = (0, q, 0)$ とおく。

距離の二乗は

P Q^{2} = (- 1 + u)^{2} + (2 - u - q)^{2} + (3 - u)^{2}

である。まず $u$ を固定すると， $q$ について最小になるのは $q = 2 - u$ のときである。このとき $P Q^{2} = (- 1 + u)^{2} + (3 - u)^{2}$ となる。これを $u$ について最小化すると $(- 1 + u)^{2} + (3 - u)^{2} = 2 (u - 2)^{2} + 2$ であるから，最小は $u = 2$ のときである。よって $P_{0} = (- 1 + 2, 2 - 2, 3 - 2) = (1, 0, 1), Q_{0} = (0, 0, 0)$ であり，最小距離は $2$ である。したがって $P_{0} = (1, 0, 1), Q_{0} = (0, 0, 0), min P Q = 2$ である。

(2)

三角形 $P_{0} Q_{0} C$ を含む平面を求める。 $Q_{0}$ は原点で， $Q_{0} P_{0} = (1, 0, 1), Q_{0} C = (0, 1, 0)$ である。この2つのベクトルを含む平面は $x - z = 0$ である。

直線lの方向ベクトル $(1, - 1, - 1)$ の長さは $3$ である。 $P_{0} S = s$ だから，Sは $S = P_{0} \pm \frac{s}{3} (1, - 1, - 1)$ のいずれかである。平面 $x - z = 0$ までの距離は $\frac{∣ x - z ∣}{2}$ である。 $P_{0}$ はこの平面上にあり，方向ベクトル $(1, - 1, - 1)$ では $x - z$ が $1 - (- 1) = 2$ だけ変化する。したがってSでは $∣ x - z ∣ = \frac{2 s}{3}$ である。よって $S R = \frac{\frac{2 s}{3}}{2} = \frac{6}{3} s$ である。

(3)

y軸の方向を表す単位ベクトルを $u = (0, 1, 0)$ とし，直線lの方向を表す単位ベクトルを $v = \frac{1}{3} (1, - 1, - 1)$ とする。2直線の距離は(1)で求めた最小距離 $2$ である。

2つの線分の長さがそれぞれ $k, m$ であるから，四面体の体積は $\frac{1}{6} \times k \times m \times (2 直線の距離) \times (2 方向のなす角の正弦)$ で求められる。ここで $u \cdot v = - \frac{1}{3}$ なので，なす角 $θ$ について $sin θ = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ である。したがって

V = \frac{1}{6} k m \cdot 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{6} k m \cdot \frac{2}{3} = \frac{3}{9} k m

である。

別解。(3)は混合積で一度に求めてもよい。2本の線分の方向を $k u$ ， $m v$ ，2直線を結ぶ共通垂線方向の長さを $2$ とすると，平行六面体の体積は

k m 2 ∣ u \times v ∣ = k m 2 \frac{2}{3} = \frac{2}{3} k m

である。四面体はその $1/6$ なので，やはり $3 k m /9$ となる。

九州大学 2009年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2009年度
後期・理系数学後期第3問