九州大学 2009年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

$a$ ， $b$ は実数（ただし， $b \neq = 0$ ）で， $A = (a 3 b 3 b a + 2 b)$ とする。また，数列 ${α_{n}}$ ， ${β_{n}}$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ を次式により定める。

(α_{1} β_{1}) = (α β), (α_{n + 1} β_{n + 1}) = A (α_{n} β_{n})

以下の問いに答えよ。

(1) 次の関係式を満たす実数 $p$ ， $q$ ， $v$ ， $w$ を求めよ。

A (1 v) = p (1 v), A (1 w) = q (1 w)

ただし， $p \neq = q$ ， $v < w$ とする。

(2) (1)で求めた $v$ ， $w$ から，行列 $P$ を次のように定める。

P = (1 v 1 w)

このとき，行列 $B = P^{- 1} A P$ を求めよ。

(3) (2)で定めた $P$ を用いて，数列 ${s_{n}}$ ， ${t_{n}}$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ を次式より定める。

(s_{n} t_{n}) = P^{- 1} (α_{n} β_{n})

$α \neq = 0$ ， $β \neq = 0$ のとき，無限級数 $n = 1 \sum \infty s_{n}$ ， $n = 1 \sum \infty t_{n}$ がともに収束するための $a$ ， $b$ が満たすべき条件を求めよ。

出典：九州大学 2009年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

(1)は指定された形 $(1, r)^{T}$ をAに掛け，第一成分を固有倍率として第二成分と比較する。 $b \neq = 0$ なので $r$ の二次方程式に落ちる。(2)はPの列が(1)の2方向なので， $P^{- 1} A P$ は対角行列になる。(3)では $(s_{n}, t_{n})^{T} = P^{- 1} (α_{n}, β_{n})^{T}$ に移すと，それぞれ公比 $a - b$ ， $a + 3 b$ の等比数列になる。初期成分が0になる例外を含めて，等比級数の収束条件を必要十分に書く。

解答

(1)

実数 $r$ に対して

A (1 r) = (a + 3 b r 3 b + (a + 2 b) r)

である。これが $λ (1, r)^{T}$ に等しいとすると，第一成分から $λ = a + 3 b r$ である。第二成分について $3 b + (a + 2 b) r = (a + 3 b r) r$ が必要である。両辺の $a r$ を消し， $b \neq = 0$ で割ると $3 + 2 r = 3 r^{2}$ である。すなわち $3 r^{2} - 2 r - 3 = 0$ であり，解は $r = - \frac{1}{3}, r = 3$ である。条件 $v < w$ より $v = - \frac{1}{3}, w = 3$ である。

対応する倍率は $p = a + 3 b v = a - b, q = a + 3 b w = a + 3 b$ である。 $b \neq = 0$ より $p \neq = q$ も満たされる。したがって $p = a - b, q = a + 3 b$ である。

(2)

(1)で求めた $v, w$ を用いると

P = (1 - \frac{1}{3} 13)

である。Pの第1列はAによって $p = a - b$ 倍され，第2列は $q = a + 3 b$ 倍される。したがって

A P = P (a - b 0 0 a + 3 b)

である。両辺に左から $P^{- 1}$ を掛ければ

B = P^{- 1} A P = (a - b 0 0 a + 3 b)

である。

(3)

まず初期値を $s_{1}, t_{1}$ で表す。Pの逆行列は

P^{- 1} = \frac{3}{4} (3 \frac{1}{3} - 1 1) = (\frac{3}{4} \frac{1}{4} - \frac{3}{4} \frac{3}{4})

である。したがって

(s_{1} t_{1}) = P^{- 1} (α β) = (\frac{3 α - 3 β}{4} \frac{α + 3 β}{4})

である。

また，(2)より

(s_{n + 1} t_{n + 1}) = P^{- 1} A (α_{n} β_{n}) = P^{- 1} A P (s_{n} t_{n}) = B (s_{n} t_{n})

である。よって $s_{n + 1} = (a - b) s_{n}, t_{n + 1} = (a + 3 b) t_{n}$ となり， $s_{n} = (a - b)^{n - 1} s_{1}, t_{n} = (a + 3 b)^{n - 1} t_{1}$ である。

したがって $\sum s_{n}$ が収束する条件は，初項 $s_{1}$ が0であるか，公比 $a - b$ の絶対値が1より小さいことである。同様に $\sum t_{n}$ についても考える。よって，固定された $α, β$ に対する必要十分条件は $(3 α - 3 β = 0 または ∣ a - b ∣ < 1)$ かつ $(α + 3 β = 0 または ∣ a + 3 b ∣ < 1)$ である。

特に $s_{1} \neq = 0$ かつ $t_{1} \neq = 0$ ，すなわち $3 α - 3 β \neq = 0, α + 3 β \neq = 0$ の場合には，条件は $- 1 < a - b < 1, - 1 < a + 3 b < 1$ である。

九州大学 2009年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2009年度
後期・理系数学後期第2問