九州大学 2009年度
後期・理系数学 後期 第1問
- 試験区分
- 後期日程 第2次学力試験
- 対象
- 理系
- 分野
- 積分、指数・対数、数列
- 解法
- 置換積分、部分積分、数学的帰納法
- 難易度
- 6 / 10 計算量 5 / 10 目安 22分
問題
nを自然数とする。x≧0において定義された関数
fn(x)=∫e−x1(logt1)ndt
について，以下の問いに答えよ。なお，必要ならば，任意の整数mについてx→∞limxme−x=0が成り立つことを用いてよい。
(1) fn(x)の導関数dxdfn(x)を求めよ。
(2) 関数f1(x)を求めよ。
(3) n>1のときのfn(x)とfn−1(x)の間に成り立つ関係式を求めよ。
(4) x→∞limfn(x)をnを用いて表せ。
出典：九州大学 2009年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第1問
方針
積分の下端がe−xなので，u=log(1/t)と置くと範囲は0≦u≦xになり，fn(x)=∫0xune−uduへ変わる。(1)は下端が動く積分を直接微分してもよいし，置換後の形から基本定理を使ってもよい。(2)は部分積分で求める。(3)も部分積分でfn=nfn−1−xne−xを作り，(4)は与えられた極限で最後の項が消えることから階乗の漸化式にする。
解答
まず，後で使いやすい形に直しておく。u=log(1/t)とおくとt=e−u，dt=−e−uduである。またt=e−xのときu=x，t=1のときu=0である。したがって
fn(x)=∫e−x1(logt1)ndt=∫0xune−udu
である。
(1)
上の表示から，積分の上端がxであることを用いて dxdfn(x)=xne−x である。
なお，元の式から直接微分してもよい。下端e−xの微分は−e−xなので
dxd∫e−x1(logt1)ndt=−(logex)n(−e−x)=xne−x
となる。
(2)
n=1のとき f1(x)=∫0xue−udu である。部分積分により
∫ue−udu=−ue−u−e−u
だから
f1(x)=[−(u+1)e−u]0x=−(x+1)e−x+1
である。よって f1(x)=1−(x+1)e−x である。
(3)
n>1とする。 fn(x)=∫0xune−udu で部分積分を行う。unを微分する側，e−uを積分する側に取ると
fn(x)=[−une−u]0x+n∫0xun−1e−udu=−xne−x+nfn−1(x)
である。したがって fn(x)=nfn−1(x)−xne−x である。
(4)
Ln=limx→∞fn(x)とおく。問題文で与えられた極限より limx→∞xne−x=0 である。したがって(3)から Ln=nLn−1 を得る。また(2)より L1=limx→∞{1−(x+1)e−x}=1 である。よって Ln=n(n−1)⋯2⋅L1=n! となる。したがって x→∞limfn(x)=n! である。
