問題
曲線の点における接線と点における接線が点で交わるとする。ただし，とする。このとき，次の問いに答えよ。
(1) 点の座標および三角形の面積を求めよ。
(2) 線分と線分を2辺とする平行四辺形をとする。折れ線と曲線で囲まれた図形の面積を求めよ。
(3) を満たしながらとが動くとき，(2)で求めた面積の最小値を求めよ。
出典：九州大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第4問
方針
放物線の接線をとして，まず2本の接線の交点Rを求める。三角形の面積はベクトルの行列式で処理する。(2)では平行四辺形の第4頂点を求め，折れ線PSQを2本の直線として表し，放物線との差を積分する。(3)はとの内積が0という直角条件からを得て，の最小値を相加相乗平均で求める。
解答
(1)
曲線のにおける接線は である。したがって，Pにおける接線は であり，Qにおける接線は である。交点Rでは である。より だから である。これをに代入して を得る。よって である。
次に三角形PRQの面積を求める。とおくと
である。したがって
である。よって である。
(2)
平行四辺形PRQSでは，対角の頂点Sは である。よって
である。
直線PSの傾きは だから，その方程式は である。同様に，直線SQの傾きはであり，方程式は である。
したがって求める面積は，折れ線PSQと放物線との差を積分して
である。ここでとし，第1の積分でとおくと，で となる。よって第1の積分は
である。第2の積分も対称に同じ値になるので，求める面積は である。したがって である。
(3)
は と同値である。(1)で用いた表示から
なので
である。より，直角条件は である。 なのでとおくと である。したがって である。相加相乗平均より であり，等号は，すなわちのとき成り立つ。
(2)の面積はであり，だから最小値は である。