問題
が直角の二等辺三角形を考える。辺の中点をとし，線分をに内分する点をとする。また，点を通り辺に平行な直線と，辺，との交点をそれぞれ，とする。このとき，次の問いに答えよ。
(1) を求めよ。
(2) の2倍との大小を判定せよ。
出典：九州大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
直角二等辺三角形は相似で大きさに依存しないため，座標を置いてよい。Aを原点，ABとACを座標軸に取り，M，P，Q，Rを順に求める。(1)はとの内積から余弦を出す。(2)はとしてを計算し，の余弦と比べる。角がの範囲にあることを確認して，余弦の大小と角の大小が逆になることを使う。
解答
(1)
直角二等辺三角形の大きさは答えに影響しないので， とおく。このとき辺BCの中点は である。PはAMをに内分する点，つまりを満たす点なので である。
直線BCの方程式はであり，これに平行でPを通る直線は である。したがって，辺ABとの交点Q，辺ACとの交点Rは である。
よって
である。内積と長さは であり，また
である。したがって
である。
(2)
とおく。(1)よりであるから
である。
一方， なので である。また だから
である。
ここで を確認する。実際，両辺は正であり，平方して である。ももの角であり，この範囲では余弦が小さいほど角は大きい。よって である。